Resolver la ecuación de segundo grado -10x² + 5x + 19 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Lee los coeficientes tal como están. Con $a = -10$, $b = 5$, $c = 19$, no hace falta multiplicar antes toda la ecuación por $-1$: la fórmula general admite directamente un coeficiente principal negativo, siempre que el signo se arrastre hasta el $2a$.

2. 2

   Calcula el discriminante.

   $b^2 - 4ac = 25 - 4(-10)(19) = 25 + 760 = 785$

   Es positivo, así que hay dos raíces reales distintas. El doble signo negativo de $-4ac$ es donde suelen colarse los errores: $-4 \times (-10) \times 19$ da $+760$, no $-760$.

3. 3

   Comprueba si el radical se simplifica. $785 = 5 \times 157$, y $157$ es primo. Ningún factor está repetido, así que $\sqrt{785}$ no tiene ningún factor cuadrado que extraer y se queda como está; numéricamente, $\sqrt{785} \approx 28.017851$.

4. 4

   Aplica la fórmula y ordena los signos.

   $x = \frac{-5 \pm \sqrt{785}}{2(-10)} = \frac{-5 \pm \sqrt{785}}{-20} = \frac{5 \mp \sqrt{785}}{20}$

   Como el $\pm$ cubre de todos modos los dos signos, este es el mismo conjunto que $\dfrac{5 \pm \sqrt{785}}{20}$.

5. 5

   Evalúa y verifica con las fórmulas de Vieta.

   $x_1 = \frac{5 + 28.017851}{20} \approx 1.650893, \qquad x_2 = \frac{5 - 28.017851}{20} \approx -1.150893$

   Su suma es $0.500000 = -\tfrac{b}{a} = \tfrac{5}{10}$ y su producto es $-1.900000 = \tfrac{c}{a} = \tfrac{19}{-10}$. Al sustituir $x_1$ en la ecuación se obtiene $0$ con un error menor que $4 \times 10^{-15}$.