Se dan dos progresiones aritméticas finitas: 2, 5, 8, 11, ... hasta el término 1000, y −1, 6, 13, 20, ... hasta el término 1000. ¿Cuántos números aparecen en las dos?

Step-by-step solution

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   Describe cada progresión mediante una congruencia. $(a_n)$ tiene $d=3$ y empieza en $2$, así que sus términos son exactamente los enteros $x\equiv 2\pmod 3$ dentro de su rango. $(b_n)$ tiene $d=7$ y empieza en $-1$, así que sus términos son los enteros $x\equiv -1\equiv 6\pmod 7$.

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   Halla el último término de cada una. $a_{1000}=2+999\cdot 3=2999,\qquad b_{1000}=-1+999\cdot 7=6992$ Por lo tanto, el solapamiento solo puede vivir en $[2,\;2999]$, que es el rango más corto.

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   Resuelve el par de congruencias. Hace falta $x\equiv 2\pmod 3$ y $x\equiv 6\pmod 7$. Probando $x=6,13,20$ contra la primera congruencia, $20=3\cdot 6+2$ funciona, así que por el teorema chino del resto $x\equiv 20\pmod{21}$ (el módulo es $\operatorname{mcm}(3,7)=21$).

4. 4

   Cuenta las soluciones dentro del rango. Los términos compartidos son $20,41,62,\dots\le 2999$, una progresión aritmética de diferencia $21$: $\left\lfloor\frac{2999-20}{21}\right\rfloor+1=\left\lfloor\frac{2979}{21}\right\rfloor+1=141+1=142$

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   Confirma y responde. Construir explícitamente los dos conjuntos de 1000 términos e intersecarlos también devuelve $142$ elementos, así que la respuesta es C.