Simplificar completamente la diferencia de los polinomios a^3b + 9a^2b^2 - 4ab^5 y a^3b - 3a^2b^2 + ab^5, e indicar cuántos términos tiene el resultado y cuál es su grado.

Step-by-step solution

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   Escribir la resta con paréntesis antes de hacer cualquier otra cosa. «La diferencia de $P$ y $Q$» significa $P-Q$ en ese orden, y el segundo polinomio debe ir entre paréntesis:

   $\big(a^3b+9a^2b^2-4ab^5\big)-\big(a^3b-3a^2b^2+ab^5\big)$

   Olvidar el paréntesis y restar solo el primer término de $Q$ es el error más frecuente en este tipo de ejercicio, y cambia tanto el número de términos como el grado de la respuesta.

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   Distribuir el signo menos a todos los términos del segundo polinomio. Cada signo cambia:

   $a^3b+9a^2b^2-4ab^5\;-\;a^3b\;+\;3a^2b^2\;-\;ab^5$

   Observa que $-(-3a^2b^2)=+3a^2b^2$ y $-(+ab^5)=-ab^5$: dos de los tres signos cambian, y por eso los términos centrales se suman en vez de cancelarse.

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   Agrupar los términos semejantes. Dos términos son «semejantes» solo cuando ambas variables llevan exponentes idénticos:

   $a^3b-a^3b=0$

   $9a^2b^2+3a^2b^2=12a^2b^2$

   $-4ab^5-ab^5=-5ab^5$

   Así que la diferencia completamente simplificada es

   $12a^2b^2-5ab^5$

   Los términos $a^3b$ eran idénticos en ambos polinomios, así que se anulan — eso es lo que reduce la respuesta de tres términos a dos.

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   Contar los términos: es un binomio. Tras simplificar quedan exactamente dos términos no semejantes, $12a^2b^2$ y $-5ab^5$. No son semejantes ($a^2b^2$ frente a $ab^5$), así que no se pueden agrupar más y el resultado es un binomio.

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   Hallar el grado sumando los exponentes dentro de cada término y tomando el mayor. En un término con varias variables el grado es la suma de los exponentes, no el mayor exponente aislado:

   $\deg\!\left(12a^2b^2\right)=2+2=4,\qquad \deg\!\left(-5ab^5\right)=1+5=6$

   El grado del polinomio es el máximo de estos, así que el grado es $6$. Un descuido frecuente es leer el grado del primer término, lo que daría la respuesta equivocada $4$; aquí los términos no están escritos en orden decreciente de grado.

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   Enunciar la conclusión. La diferencia completamente simplificada es $12a^2b^2-5ab^5$: un binomio de grado 6.