Halla el dominio de la función f(x) = 2 / (x² − 12x + 35). Da la respuesta en notación de intervalos.

Step-by-step solution

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   Identifica la única restricción que tiene una función racional. El numerador $2$ es inofensivo, y los polinomios están definidos para todo número real, así que el dominio es todo excepto los ceros del denominador. Aquí no hay raíz cuadrada ni logaritmo, de modo que la división por cero es el único peligro. Plantea la factorización en vez de la fórmula general, porque los números son amables.

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   Factoriza el denominador. Busca dos números cuyo producto sea $35$ y cuya suma sea $-12$; ambos deben ser negativos, y $-5$ y $-7$ funcionan:

   $x^{2}-12x+35=(x-5)(x-7)$

   Al desarrollar de vuelta se obtiene $x^{2}-7x-5x+35=x^{2}-12x+35$, así que la factorización es correcta.

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   Despeja los valores excluidos. Un producto vale cero exactamente cuando alguno de los factores vale cero:

   $x-5=0\ \Rightarrow\ x=5,\qquad x-7=0\ \Rightarrow\ x=7$

   En cada uno de ellos el denominador se anula mientras el numerador sigue valiendo $2$, así que ahí $f$ tiene una asíntota vertical y no un hueco evitable.

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   Quita esos dos puntos de la recta real. Eliminar dos puntos aislados de $\mathbb{R}$ la parte en tres intervalos:

   $(-\infty,5)\cup(5,7)\cup(7,\infty)$

   Los cuatro extremos llevan paréntesis: el $5$ y el $7$ porque están excluidos, y $\pm\infty$ porque no son números.

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   Haz una comprobación puntual a cada lado de un valor excluido. En $x=6$ el denominador es $36-72+35=-1$, así que $f(6)=-2$, un valor legítimo dentro del intervalo central. En $x=5$ el denominador es $25-60+35=0$, así que $f(5)$ no está definida, exactamente como dice la respuesta.