La función f(x) = |x − 4| − 3 se traslada 6 unidades hacia arriba y 2 unidades hacia la derecha. Escribe la ecuación de la nueva función.

Step-by-step solution

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   Localiza el vértice de partida. En $f(x)=|x-h|+k$ la esquina está en $(h,k)$. Al leer $f(x)=|x-4|-3$ se obtiene $h=4$ y $k=-3$, así que el vértice está en

   $(4,-3)$

   Seguir el vértice es la forma más rápida de no perderse con las traslaciones, porque la forma en V nunca cambia: solo cambia dónde está su esquina.

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   Aplica el desplazamiento horizontal sustituyendo $x$ por $x-2$. Mover una gráfica $2$ unidades a la derecha significa que cada entrada debe ser $2$ unidades mayor para producir la misma salida, así que la sustitución resta:

   $f(x-2)=\left|(x-2)-4\right|-3=|x-6|-3$

   A la mayoría el signo le parece del revés —los desplazamientos a la derecha restan dentro—, y justo por eso conviene hacerlo como sustitución y no de memoria.

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   Aplica el desplazamiento vertical sumando por fuera. Subir $6$ unidades suma $6$ a toda la salida:

   $|x-6|-3+6=|x-6|+3$

   Los desplazamientos verticales se comportan de forma intuitiva: arriba significa $+$.

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   Enuncia la función transformada y su vértice.

   $f(x)=|x-6|+3,\qquad \text{vértice }(6,3)$

   El vértice pasó de $(4,-3)$ a $(6,3)$: $2$ a la derecha y $6$ hacia arriba, precisamente lo indicado, que es la comprobación incorporada.

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   Verifica con un punto de prueba. En la gráfica original, $f(4)=|4-4|-3=-3$ (la esquina). El punto correspondiente tras moverse $2$ a la derecha y $6$ hacia arriba debería ser $(6,3)$, y la nueva fórmula da $|6-6|+3=3\;\checkmark$. Una comprobación más: la original $f(0)=|{-4}|-3=1$ va a parar a $(2,7)$, y la nueva función da $|2-6|+3=4+3=7\;\checkmark$.