Resolver la inecuación |x − 1| + |x + 1| < 4.

Step-by-step solution

1. 1

   Localiza los vértices. Cada valor absoluto cambia de fórmula donde su interior vale cero: en $x=1$ y en $x=-1$. Esos puntos parten la recta en $x<-1$, $-1\le x<1$ y $x\ge1$, y en cada tramo los dos valores absolutos se convierten en expresiones lineales sin más.

2. 2

   Caso 1: x < -1 (los dos interiores negativos). Entonces $|x-1|=1-x$ y $|x+1|=-x-1$, cuya suma es $-2x$:

   $-2x<4\qquad\Longrightarrow\qquad x>-2$

   Dividir entre $-2$ invierte la desigualdad. Al intersecar $x>-2$ con la condición del caso, $x<-1$, queda $-2<x<-1$.

3. 3

   Caso 2: -1 <= x < 1 (signos mixtos). Aquí $|x-1|=1-x$ y $|x+1|=x+1$, y los términos en $x$ se cancelan:

   $(1-x)+(x+1)=2<4$

   Siempre se cumple, así que todo el intervalo $[-1,1)$ pertenece a la solución. Entre los vértices la suma es constante e igual a $2$.

4. 4

   Caso 3: x >= 1 (los dos interiores no negativos). Entonces la suma es $(x-1)+(x+1)=2x$:

   $2x<4\qquad\Longrightarrow\qquad x<2$

   Al intersecar con $x\ge1$ queda $1\le x<2$.

5. 5

   Une los tres casos.

   $(-2,-1)\cup[-1,1)\cup[1,2)=(-2,2)$

   Los tres tramos se empalman sin huecos en los vértices y forman un único intervalo:

   $-2<x<2$

6. 6

   Lee la respuesta en clave de distancias y verifica. $|x-1|+|x+1|$ es la distancia total de $x$ a $1$ y a $-1$. Su mínimo es la separación entre ambos, $2$, y se alcanza en todo el tramo intermedio; fuera, crece $2$ por cada unidad. Así que llega a $4$ exactamente una unidad más allá de cada vértice: en $x=-2$ y en $x=2$. Comprobación: $|{-3}|+|{-1}|=4$ en $x=-2$ ✓ y $|1|+|3|=4$ en $x=2$ ✓, ambos excluidos por ser la desigualdad estricta. Un barrido de $12{,}001$ puntos en $[-6,6]$ coincide con $(-2,2)$ en todos ellos ✓.