Resuelve para x, y, z y w: (1/3)x − (1/3)y = −1, −(1/3)x + (1/2)y = −w, (1/3)z = w y x = 30 + z.

Step-by-step solution

1. 1

   Quita las fracciones de la primera ecuación. Multiplicando por $3$:

   $x - y = -3 \ \Longrightarrow \ y = x + 3$

   Cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas asustan, pero dos de ellas ($\tfrac13 z = w$ y $x = 30 + z$) ya son sustituciones explícitas, así que el trabajo real es poco.

2. 2

   Expresa todo en términos de z. A partir de $x = 30 + z$ y de $y = x + 3$:

   $x = 30 + z, \qquad y = 33 + z, \qquad w = \frac{z}{3}$

   Ahora cada incógnita es función de la única variable $z$; solo queda sin usar la segunda ecuación, y será la que fije $z$.

3. 3

   Sustituye en la ecuación restante.

   $-\frac{1}{3}(30 + z) + \frac{1}{2}(33 + z) = -\frac{z}{3}$

   $-10 - \frac{z}{3} + \frac{33}{2} + \frac{z}{2} = -\frac{z}{3}$

4. 4

   Cancela y despeja z. El término $-\frac{z}{3}$ aparece idéntico en los dos miembros y se cancela, y queda

   $-10 + \frac{33}{2} + \frac{z}{2} = 0 \ \Longrightarrow \ \frac{z}{2} = 10 - \frac{33}{2} = -\frac{13}{2} \ \Longrightarrow \ z = -13$

   Esa cancelación es lo que hace que el sistema se resuelva en una línea en vez de exigir eliminación entre las cuatro ecuaciones.

5. 5

   Sustituye hacia atrás para las otras tres incógnitas.

   $x = 30 + (-13) = 17, \qquad y = 33 + (-13) = 20, \qquad w = \frac{-13}{3} = -\frac{13}{3}$

6. 6

   Verifica las cuatro ecuaciones. $\tfrac13(17) - \tfrac13(20) = -1 \ \checkmark$; $-\tfrac13(17) + \tfrac12(20) = -\tfrac{17}{3} + 10 = \tfrac{13}{3} = -w \ \checkmark$; $\tfrac13(-13) = -\tfrac{13}{3} = w \ \checkmark$; $30 + (-13) = 17 = x \ \checkmark$. Las cuatro se cumplen exactamente.