Determina si f(x) = x√(x + 9) es par, impar o ninguna de las dos: algebraicamente, gráficamente y numéricamente, comparando f(x) con f(−x).

Step-by-step solution

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   Recordar las dos pruebas. $f$ es par si $f(-x) = f(x)$ para todo $x$ del dominio (simetría respecto del eje $y$), e impar si $f(-x) = -f(x)$ (simetría respecto del origen). Si ninguna de las dos identidades se cumple en todas partes, la respuesta es «ninguna de las dos», y la mayoría de las funciones están en ese caso.

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   Comprobar primero el dominio. El radicando debe cumplir $x + 9 \ge 0$, así que el dominio es $[-9, \infty)$. Ese intervalo no es simétrico respecto de $0$: $x = 20$ está en el dominio, pero $x = -20$ no. Para que una función sea par o impar el dominio tiene que ser simétrico, de modo que esta sola observación ya determina la respuesta, antes de hacer nada de álgebra.

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   Calcular $f(-x)$ algebraicamente. Se reemplaza $x$ por $-x$ en todas partes:

   $f(-x) = (-x)\sqrt{-x+9} = -x\sqrt{9-x}$

   Se compara con $f(x) = x\sqrt{x+9}$ y con $-f(x) = -x\sqrt{x+9}$. Los radicales son distintos, $\sqrt{9-x}$ frente a $\sqrt{x+9}$, así que $f(-x)$ no coincide con ninguno de los dos.

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   Confirmar numéricamente. Se evalúa en dos parejas simétricas:

   $x$	$f(x)$
   $1$	$1\sqrt{10} \approx 3.16$
   $-1$	$-1\sqrt{8} \approx -2.83$
   $4$	$4\sqrt{13} \approx 14.42$
   $-4$	$-4\sqrt{5} \approx -8.94$

   Si $f$ fuera par haría falta que $f(-1) = f(1)$, pero $-2.83 \neq 3.16$. Si $f$ fuera impar haría falta que $f(-1) = -f(1) = -3.16$, pero $f(-1) = -2.83$. Las dos pruebas fallan, y la pareja $\pm 4$ falla del mismo modo.

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   Leer la gráfica de la misma manera. La curva arranca en $(-9, 0)$, baja hasta un mínimo justo en $x = -6$ y crece sin cota hacia la derecha; a la izquierda de $x = -9$ no hay nada. Así que no es simétrica ni respecto del eje $y$ ni respecto del origen.

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   Concluir. Las tres pruebas coinciden: $f(x) = x\sqrt{x+9}$ no es par ni impar. El caso que se queda cerca resulta instructivo: $x\sqrt{x^2+9}$ sí sería impar, porque elevar $x$ al cuadrado deja el radicando inmune al cambio de signo.