Hallar el valor de C = x² − 8xy + 16y² sabiendo que x − 4y = 5.

Step-by-step solution

1. 1

   Notar que la condición dada no determina x e y por separado. Una ecuación con dos incógnitas tiene infinitas soluciones, así que hay que reorganizar la expresión para que dependa únicamente de la combinación $x - 4y$. Eso es una pista fuerte de que conviene buscar un cuadrado perfecto.

2. 2

   Ajustar la expresión al patrón del cuadrado perfecto. La identidad es

   $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$

   Aquí $A^2 = x^2$ da $A = x$, y $B^2 = 16y^2$ da $B = 4y$. Se revisa el término central: $2AB = 2 \cdot x \cdot 4y = 8xy$, que coincide con el $-8xy$ de la expresión.

3. 3

   Reescribir la expresión como un solo cuadrado.

   $C = x^2 - 8xy + 16y^2 = (x - 4y)^2$

4. 4

   Sustituir el valor dado del paréntesis completo. Como $x - 4y = 5$:

   $C = 5^2 = 25$

   Lo que se sustituye es la expresión entera $x - 4y$, no valores individuales de $x$ e $y$; eso es justamente lo que hace resoluble el problema.

5. 5

   Confirmar con pares concretos. Cualquier $(x, y)$ con $x - 4y = 5$ debería dar la misma respuesta. Con $y = 0$, $x = 5$: $25 - 0 + 0 = 25 \ \checkmark$. Con $y = 1$, $x = 9$: $81 - 72 + 16 = 25 \ \checkmark$. Con $y = -2$, $x = -3$: $9 - 48 + 64 = 25 \ \checkmark$.