Encuentra el dominio de la función f(x) = x² − 2x + 9 y da la respuesta en notación de intervalos.

Step-by-step solution

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   Pregúntate qué podría fallar. Hallar un dominio es cazar operaciones prohibidas, y en el álgebra corriente solo hay tres: dividir entre cero, extraer una raíz de índice par de un número negativo y tomar el logaritmo de un número no positivo.

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   Compara la regla con esa lista. $f(x)=x^2-2x+9$ es un polinomio: está construido a partir de $x$ usando solo multiplicaciones y sumas. No hay denominador, ni radical, ni logaritmo, así que ninguno de los tres modos de fallo puede presentarse.

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   Concluye para toda entrada real. Al sustituir cualquier $x$ real se produce una salida real — por ejemplo $f(0)=9$, $f(-100)=10209$, $f(3.5)=14.25$. Por lo tanto

   $\text{dominio}(f)=(-\infty,\infty).$

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   No confundas esto con el recorrido. Al completar el cuadrado queda

   $f(x)=(x-1)^{2}+8,$

   así que las salidas nunca bajan de $8$; de forma equivalente, el discriminante $(-2)^2-4(1)(9)=-32$ es negativo, así que $f$ no tiene ceros reales. Eso restringe el recorrido a $[8,\infty)$ y no dice absolutamente nada sobre qué entradas están permitidas.

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   Enuncia la regla general. Toda función polinómica, de cualquier grado, tiene dominio $(-\infty,\infty)$. Los dominios solo se vuelven interesantes cuando la expresión es un cociente, una raíz de índice par o un logaritmo.