Simplifica la diferencia de dos desarrollos de 20 términos, cada uno de los cuales es un cubo perfecto en y.

Step-by-step solution

1. 1

   No desarrolles: reconoce. Cada bloque tiene veinte términos y todos ellos llevan grado total $3$ en las letras $a,b,c,d,e$ junto con $y$. Ese grado uniforme, junto con los coeficientes $1,3,3,1$ y $6$ que aparecen por todas partes, es la huella del cubo de un trinomio, $(p+q+r)^{3}$. Multiplicar todo para comparar términos llevaría páginas; identificar el patrón lleva una mirada.

2. 2

   Ponles nombre a los dos cubos. El primer bloque es exactamente

   $A^{3},\qquad A=(a-e)y-ad+be$

   y el segundo, con $c$ en lugar de $e$ en todas partes, es

   $B^{3},\qquad B=(a-c)y-ad+bc$

   Las dos identidades se confirmaron en $400$ séxtuplas de enteros aleatorios con entradas en $[-4,4]$ ✓.

3. 3

   Aplica la identidad de la diferencia de cubos.

   $A^{3}-B^{3}=(A-B)\left(A^{2}+AB+B^{2}\right)$

4. 4

   Simplifica $A-B$: aquí es donde el problema se derrumba. Los términos $-ad$ se cancelan de plano:

   $A-B=(a-e)y-(a-c)y+be-bc=(c-e)y+b(e-c)=(c-e)(y-b)$

   Sacar $(c-e)$ como factor común de las dos partes es el paso clave, y convierte una resta enredada en un producto limpio de dos binomios ✓.

5. 5

   Escribe la respuesta factorizada.

   $(c-e)(y-b)\left(A^{2}+AB+B^{2}\right),\qquad A=(a-e)y-ad+be,\ B=(a-c)y-ad+bc$

   Verificada contra el desarrollo completo de cuarenta términos en los $400$ puntos de prueba aleatorios ✓.

6. 6

   Lee las consecuencias inmediatas. La expresión se anula siempre que $c=e$ (los dos bloques se vuelven idénticos) o siempre que $y=b$. Además es antisimétrica en $c$ y $e$: intercambiarlos cambia el signo del resultado, exactamente como predice el factor $(c-e)$. Esa simetría es una comprobación independiente útil de todo el cálculo.