Simplifica (3x² + 4)² + (3x² - 4)² - 2(3x² + 4)(3x² - 4).

Step-by-step solution

1. 1

   Resiste la tentación de desarrollar: mira primero la forma. Escrito todo, esto serían tres desarrollos de cuarto grado y mucha contabilidad. Pero las tres piezas son exactamente $a^2$, $b^2$ y $-2ab$ para dos bloques repetidos, que es la firma de

   $a^2+b^2-2ab=(a-b)^2$

2. 2

   Sustituye los bloques. Sea

   $a=3x^2+4,\qquad b=3x^2-4$

   Entonces la expresión es literalmente $a^2+b^2-2ab$, así que vale $(a-b)^2$. Tratar cada paréntesis como un único objeto es la jugada que ahorra todo el trabajo.

3. 3

   Calcula $a-b$ y reparte el signo menos con cuidado.

   $a-b=(3x^2+4)-(3x^2-4)=3x^2+4-3x^2+4=8$

   Los términos $3x^2$ se cancelan y las dos constantes se suman (porque $-(-4)=+4$). Obtener aquí $0$ en vez de $8$ es el error de signo típico.

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   Eleva la diferencia al cuadrado.

   $(a-b)^2=8^2=64$

   Así que toda la expresión se reduce a la constante $64$: toma el mismo valor para cualquier $x$ real, sin que quede ninguna $x$ en la respuesta.

5. 5

   Comprueba en dos valores distintos de $x$. En $x=0$: $16+16-2(4)(-4)=16+16+32=64$. ✓ En $x=1$: $49+1-2(7)(-1)=49+1+14=64$. ✓ Que dos entradas distintas den la misma salida es una prueba sólida de que la expresión es realmente constante.