Desarrolla y simplifica (1 − 2x)(5 − 3x) + (4 − x)².

Step-by-step solution

1. 1

   Desarrolla el producto con la doble distributiva. Multiplica cada término del primer paréntesis por cada uno del segundo, cuidando los signos:

   $(1-2x)(5-3x)=5-3x-10x+6x^{2}=6x^{2}-13x+5$

   El último producto $(-2x)(-3x)=+6x^{2}$ es positivo porque dos negativos se multiplican para dar un positivo.

2. 2

   Desarrolla el cuadrado con la identidad de la diferencia. Usando $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ con $a=4$, $b=x$:

   $(4-x)^{2}=16-8x+x^{2}$

   Hay tres términos: escribir $16-x^{2}$ o $16+x^{2}$ pierde el término central imprescindible $-8x$.

3. 3

   Suma los dos desarrollos.

   $\left(6x^{2}-13x+5\right)+\left(16-8x+x^{2}\right)$

4. 4

   Agrupa los términos semejantes por grado.

   $6x^{2}+x^{2}=7x^{2},\qquad-13x-8x=-21x,\qquad5+16=21$

   lo que da

   $7x^{2}-21x+21$

5. 5

   Verifica y observa el factor común. En $x=1$: la expresión original da $(-1)(2)+9=7$, y la respuesta da $7-21+21=7$ ✓. La identidad se cumple en todos los enteros de $-30$ a $29$ ✓. Los tres coeficientes comparten un factor $7$, así que el resultado también es igual a $7\left(x^{2}-3x+3\right)$; la cuadrática interior tiene discriminante $9-12=-3<0$, así que no se factoriza más sobre los reales y la expresión siempre es positiva.