Resolver la ecuación (x al cuadrado más 4x menos 12) por la raíz cuadrada de (x más 5) igual a cero y hallar la suma de sus raíces.

Step-by-step solution

1. 1

   Determinar primero el dominio, no al final. Una raíz cuadrada solo está definida cuando su radicando es no negativo, así que antes de resolver nada:

   $x+5\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x\ge -5$

   Hacer esto en primer lugar es lo que impide que una raíz extraña se cuele en la suma final.

2. 2

   Aplicar la propiedad del producto nulo. Un producto vale cero exactamente cuando uno de sus factores es cero, así que se resuelven $x^2+4x-12=0$ y $\sqrt{x+5}=0$ por separado. Es habitual olvidar la segunda rama, porque un radical igualado a cero no parece una ecuación que haya que resolver.

3. 3

   Resolver el factor cuadrático.

   $x^2+4x-12=(x+6)(x-2)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=-6 \ \text{ o } \ x=2$

   Pero $x=-6$ incumple el dominio $x\ge-5$, así que se descarta. Solo sobrevive $x=2$.

4. 4

   Resolver el factor radical.

   $\sqrt{x+5}=0 \quad\Longrightarrow\quad x+5=0 \quad\Longrightarrow\quad x=-5$

   Este valor está justo en la frontera del dominio, así que es legítimo: en $x=-5$ el radical está definido y vale $0$.

5. 5

   Reunir las raíces y sumarlas. El conjunto solución es $\{-5,\ 2\}$, así que

   $-5+2=-3$

6. 6

   Verificar ambas raíces en la ecuación original. En $x=2$: $(4+8-12)\sqrt{7}=0\cdot\sqrt7=0$. En $x=-5$: $(25-20-12)\sqrt{0}=(-7)(0)=0$. Ambas dan $0$, y $x=-6$ ni siquiera se puede comprobar, ya que $\sqrt{-1}$ no está definida en los reales.