Factoriza (9/16)c² − 1.

Step-by-step solution

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   Verificar que un coeficiente fraccionario también puede ser un cuadrado perfecto. Una fracción es un cuadrado perfecto cuando su numerador y su denominador lo son, y aquí $9=3^{2}$ y $16=4^{2}$, de modo que

   $\frac{9}{16}c^{2}=\left(\frac{3}{4}c\right)^{2},\qquad1=1^{2}$

   La raíz cuadrada de $\tfrac9{16}$ es $\tfrac34$ — se saca la raíz del numerador y del denominador por separado, no se divide la fracción entre dos.

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   Aplicar la identidad de la diferencia de cuadrados. Con $a=\tfrac34c$ y $b=1$:

   $\frac{9}{16}c^{2}-1=\left(\frac{3}{4}c\right)^{2}-1^{2}=\left(\frac{3}{4}c-1\right)\left(\frac{3}{4}c+1\right)$

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   Comprobar desarrollando. $\left(\tfrac34c\right)^{2}+\tfrac34c-\tfrac34c-1=\tfrac9{16}c^{2}-1$ ✓ — los términos cruzados se cancelan, como siempre ocurre en este patrón. La identidad se confirmó en $51$ puntos racionales exactos ✓.

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   Dar la alternativa sin fracciones. Sacar primero $\tfrac1{16}$ convierte el problema en números enteros:

   $\frac{9}{16}c^{2}-1=\frac{1}{16}\left(9c^{2}-16\right)=\frac{1}{16}(3c-4)(3c+4)$

   Es la misma expresión — al multiplicar cada $\left(\tfrac34c\mp1\right)$ por $4$ se obtiene $(3c\mp4)$, y $4\times4=16$ explica el denominador. Se verificó numéricamente que ambas formas coinciden ✓.

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   Leer las raíces. Al igualar cualquiera de los factores a cero resulta $\tfrac34c=\pm1$, así que

   $c=\pm\frac{4}{3}$

   Comprobación: $\tfrac9{16}\cdot\tfrac{16}{9}-1=1-1=0$ ✓ para ambos signos, ya que solo aparece $c^{2}$.