Factoriza 4AB² − 4A²B − B³.

Step-by-step solution

1. 1

   Saca el factor común de variable. Todos los términos contienen al menos una $B$ (las potencias son $2,1,3$), mientras que la $A$ falta en el último término, así que $B$ por sí sola es el factor común. Los coeficientes $4,-4,-1$ no comparten ningún factor numérico más allá de $1$:

   $4AB^2-4A^2B-B^3=B\left(4AB-4A^2-B^2\right)$

2. 2

   Reordena el paréntesis por potencias decrecientes de A. Escribirlo como $-4A^2+4AB-B^2$ hace visible la estructura — el coeficiente principal es negativo, y eso es una pista de que un signo menos quiere salir.

3. 3

   Saca el signo menos.

   $4AB-4A^2-B^2=-\left(4A^2-4AB+B^2\right)$

   Los tres signos de dentro se invierten. Saltarse este paso es lo que suele impedir ver el cuadrado.

4. 4

   Reconoce el cuadrado perfecto. Para $4A^2-4AB+B^2$: los términos de los extremos son $(2A)^2$ y $B^2$, y el término del medio es $-2\cdot(2A)\cdot B=-4AB$ ✓. Así que

   $4A^2-4AB+B^2=(2A-B)^2$

5. 5

   Vuelve a armar la factorización.

   $4AB^2-4A^2B-B^3=B\cdot\left[-(2A-B)^2\right]=-B\left(2A-B\right)^2$

   Como elevar al cuadrado elimina el signo, $(2A-B)^2=(B-2A)^2$, así que $-B(B-2A)^2$ es la misma respuesta escrita de otro modo.

6. 6

   Fíjate en lo que te dice la forma. Como $(2A-B)^2\ge0$ siempre, toda la expresión tiene el signo opuesto al de $B$: negativa cuando $B>0$, positiva cuando $B<0$, y cero cuando $B=0$ o $B=2A$.

7. 7

   Verifica numéricamente. Comparar la original con $-B(2A-B)^2$ en $60$ pares aleatorios $(A,B)$ tomados de $[-5,5]$ da coincidencia con precisión de máquina en todos los puntos ✓.