Resuelve 12/((x + 1)(x + 5)) + 15/((x + 2)(x + 4)) = 2.

Step-by-step solution

1. 1

   Desarrollar cada denominador y detectar la cuadrática compartida. Nótese que los dos pares de factores tienen la misma suma, $1+5=2+4=6$:

   $(x+1)(x+5)=x^{2}+6x+5,\qquad (x+2)(x+4)=x^{2}+6x+8$

   Así que con

   $u=x^{2}+6x$

   ambos denominadores quedan lineales en $u$. Eliminar los denominadores de forma directa produciría en cambio una cuártica.

2. 2

   Reescribir en u.

   $\frac{12}{u+5}+\frac{15}{u+8}=2$

3. 3

   Eliminar los denominadores y simplificar.

   $12(u+8)+15(u+5)=2(u+5)(u+8)$

   $12u+96+15u+75=2\left(u^{2}+13u+40\right)$

   $27u+171=2u^{2}+26u+80\quad\Longrightarrow\quad 2u^{2}-u-91=0$

4. 4

   Resolver para u.

   $u=\frac{1\pm\sqrt{1+728}}{4}=\frac{1\pm 27}{4}\quad\Longrightarrow\quad u=7\ \text{o}\ u=-\frac{13}{2}$

5. 5

   Deshacer cada valor de u.

   $u=7$: $x^{2}+6x-7=0\Rightarrow(x+7)(x-1)=0\Rightarrow x=-7$ o $x=1$.

   $u=-\tfrac{13}{2}$: $2x^{2}+12x+13=0\Rightarrow x=\dfrac{-12\pm\sqrt{144-104}}{4}=\dfrac{-6\pm\sqrt{10}}{2}$, las dos reales porque $144-104=40>0$.

   $\boxed{x=1,\ -7,\ \frac{-6+\sqrt{10}}{2},\ \frac{-6-\sqrt{10}}{2}}$

6. 6

   Revisar el dominio y una de las raíces. Los valores excluidos son $x=-1,-2,-4,-5$; ninguna de las cuatro raíces está entre ellos ($\tfrac{-6\pm\sqrt{10}}{2}\approx -1.42$ y $-4.58$, las dos bien lejos). Comprobando $x=1$: $\tfrac{12}{2\cdot 6}+\tfrac{15}{3\cdot 5}=1+1=2$ ✓.