Factoriza por completo x² + x − 12.

Step-by-step solution

1. 1

   Plantea la búsqueda de los dos números. Para un trinomio cuadrático mónico $x^{2}+bx+c$ la factorización es $(x+m)(x+n)$ con $mn=c$ y $m+n=b$. Aquí $c=-12$ y $b=+1$ (la $x$ suelta tiene coeficiente $1$), así que hacen falta dos números cuyo producto sea $-12$ y cuya suma sea $1$.

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   Deja que los signos reduzcan la búsqueda a la mitad. El producto $-12$ es negativo, así que los dos números tienen que llevar signos opuestos. La suma $+1$ es pequeña y positiva, así que el número positivo es el mayor de los dos en valor absoluto, y por exactamente $1$.

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   Lista las parejas de factores de signos opuestos de $-12$ y sus sumas.

   $(1,-12)\to-11,\quad(12,-1)\to11,\quad(2,-6)\to-4,\quad(6,-2)\to4,\quad(3,-4)\to-1,\quad(4,-3)\to1\ \checkmark$

   Solo $4$ y $-3$ dan la suma requerida, y $4\times(-3)=-12$ ✓.

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   Escribe la factorización.

   $x^{2}+x-12=(x+4)(x-3)$

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   Comprueba desarrollando: aquí es donde se delata una pareja equivocada. $(x+4)(x-3)=x^{2}-3x+4x-12=x^{2}+x-12$ ✓. El coeficiente central es la suma y el término independiente es el producto, así que si el término independiente no vuelve a salir exacto, la pareja estaba mal. La identidad se confirmó en cada entero desde $-40$ hasta $39$ ✓.

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   Lee las raíces. La expresión se anula en $x=-4$ y en $x=3$, así que esas son las soluciones de $x^{2}+x-12=0$. El discriminante $1^{2}-4(1)(-12)=49=7^{2}$ es un cuadrado perfecto, la garantía de que desde el principio tenían que existir factores enteros.