Sea el módulo de (conjugado de Z) + 4i/Z igual a 2 por la raíz cuadrada de 2. Hallar el módulo de Z.

Step-by-step solution

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   Elegir la forma polar para poder sacar el argumento como factor. Se escribe $Z = re^{i\theta}$ con $r=|Z|>0$. Entonces $\overline{Z} = re^{-i\theta}$ y $Z^{-1} = \tfrac1r e^{-i\theta}$; lo decisivo es que ambos términos llevan el mismo factor $e^{-i\theta}$.

2. 2

   Sacar como factor la exponencial común. $\overline{Z}+4iZ^{-1} = e^{-i\theta}\left(r+\frac{4i}{r}\right).$ Como $|e^{-i\theta}|=1$, el módulo no depende en absoluto de $\theta$: $\left|\overline{Z}+4iZ^{-1}\right| = \left|r+\frac{4i}{r}\right|.$

3. 3

   Escribir el módulo en función de r. El paréntesis tiene parte real $r$ y parte imaginaria $\tfrac4r$, ambas reales, de modo que $\left|r+\frac{4i}{r}\right| = \sqrt{r^2+\frac{16}{r^2}} = 2\sqrt2.$

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   Elevar al cuadrado y quitar el denominador. Al elevar al cuadrado queda $r^2+\dfrac{16}{r^2} = 8$; al multiplicar por $r^2$ (que no es cero) se obtiene la cuártica $r^4-8r^2+16 = 0.$

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   Reconocer el cuadrado perfecto. $r^4-8r^2+16 = (r^2-4)^2$, así que $(r^2-4)^2=0$ obliga a $r^2=4$. Hay una única solución repetida en lugar de dos, indicio de que $2\sqrt2$ es exactamente el valor mínimo posible del lado izquierdo.

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   Tomar la raíz positiva y confirmar. Un módulo es no negativo, así que $r=|Z|=2$. Comprobación: $\sqrt{2^2+\tfrac{16}{4}} = \sqrt{4+4} = 2\sqrt2$. Por la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica, $r^2+\tfrac{16}{r^2} \ge 8$ con igualdad solo en $r=2$, y por eso la respuesta es única.