Resolver para x cuando se suman las diez potencias de (1 + x) con exponentes del 27 al 36 y esa suma vale 20.

Step-by-step solution

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   Sustituye $y=1+x$ y saca factor común la potencia menor. Los diez exponentes son consecutivos, así que

   $y^{27}\bigl(1+y+y^2+\cdots+y^{9}\bigr)=20$

   Este es el paso clave: sin él tienes delante un polinomio de grado 36; con él, una serie geométrica.

2. 2

   Contrae el paréntesis con la fórmula de la serie geométrica. Para $y\ne 1$,

   $1+y+\cdots+y^{9}=\frac{y^{10}-1}{y-1}\quad\Longrightarrow\quad y^{27}\cdot\frac{y^{10}-1}{y-1}=20$

   Ninguna raíz racional sobrevive a esto — $y=1$ da $10$ y $y=2$ da más de $10^{10}$ —, así que hay que localizar las raíces numéricamente.

3. 3

   Acota la raíz positiva con un cambio de signo. Escribe $S(y)=y^{27}+\cdots+y^{36}$. Entonces $S(1)=10<20$ y

   $S(1.05)=1.05^{27}\cdot\frac{1.05^{10}-1}{0.05}=46.959>20$

   así que hay una raíz en $(1,1.05)$. Bisecando hasta siete decimales se obtiene $y=1.0221841$, es decir $x=0.0221841$, con $S(1.0221841)=19.99997$.

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   Halla la segunda raíz real explicitando el patrón de signos. Para $y=-u$ con $u>0$ los signos alternados se reagrupan exactamente como

   $S(-u)=u^{27}(u-1)\bigl(1+u^2+u^4+u^6+u^8\bigr)$

   Esta expresión es negativa para $0<u<1$, se anula en $u=1$ (coherente con $S(-1)=0$) y crece estrictamente para $u>1$, así que alcanza $20$ una sola vez. Bisecando se obtiene $u=1.1184421$, donde la expresión factorizada vale $19.99998$; por tanto $y=-1.1184421$ y $x=-2.1184421$.

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   Justifica que no hay más raíces reales. Para $y>0$ cada término $y^k$ es creciente, así que $S$ sube estrictamente de $0$ a $\infty$ y cruza $20$ una sola vez. Para $y<0$ la forma factorizada anterior es monótona a partir de $u=1$ y nunca llega a $20$ mientras $u\le 1$. En total, dos raíces reales; las $34$ restantes del polinomio de grado 36 son complejas.

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   Expresa la respuesta en términos de $x$. Deshaciendo la sustitución $x=y-1$:

   $x\approx 0.0221841\qquad\text{o}\qquad x\approx -2.1184421$