Factorizar (1/16)x⁶ + x³ + 4 por completo.

Step-by-step solution

1. 1

   Detectar la cuadrática oculta. Los exponentes son $6,3,0$ — todos múltiplos de $3$ — y $x^6=(x^3)^2$. Así que la expresión es una cuadrática en la única cantidad $x^3$:

   $\frac{1}{16}\left(x^3\right)^2+1\cdot x^3+4$

2. 2

   Sustituir u = x^3 y quitar la fracción. Con $u=x^3$ la expresión es $\tfrac{1}{16}u^2+u+4$. Al extraer $\tfrac{1}{16}$ como factor — equivalentemente, multiplicar por $16$ dentro del paréntesis — se obtienen coeficientes enteros:

   $\frac{1}{16}\left(u^2+16u+64\right)$

   Se revisa la cuenta: $16\times1=16$ y $16\times4=64$ ✓.

3. 3

   Reconocer el cuadrado perfecto. Para $u^2+16u+64$, nótese que $64=8^2$ y que $2\times8=16$ coincide con el coeficiente central, así que

   $u^2+16u+64=(u+8)^2$

   (Equivalentemente, el discriminante $16^2-4\cdot64=0$ confirma una raíz doble.)

4. 4

   Deshacer la sustitución.

   $\frac{1}{16}x^6+x^3+4=\frac{1}{16}\left(x^3+8\right)^2$

5. 5

   Llevar la factorización más lejos con la suma de cubos. Como $x^3+8=x^3+2^3$, la identidad $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ da $x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)$, y al elevar al cuadrado:

   $\frac{1}{16}x^6+x^3+4=\frac{1}{16}(x+2)^2\left(x^2-2x+4\right)^2$

   La cuadrática $x^2-2x+4$ tiene discriminante $4-16=-12<0$, así que es irreducible sobre los reales y la factorización está completa.

6. 6

   Verificar numéricamente. Al comparar la expresión original con ambas formas factorizadas en $60$ valores aleatorios de $x$ en $[-4,4]$ hay coincidencia con precisión de máquina en todos los casos ✓. Como comprobación puntual en $x=2$: la original $=\tfrac{64}{16}+8+4=16$, y $\tfrac{1}{16}(8+8)^2=\tfrac{256}{16}=16$ ✓.