Resuelve la inecuación |2x − 1| ≤ 3.

Step-by-step solution

1. 1

   Traduce $|A|\le b$ a una sola cadena. El valor absoluto mide la distancia a $0$, así que exigir que sea a lo sumo $3$ confina a $2x-1$ dentro de la banda cerrada entre $-3$ y $3$:

   $-3\le2x-1\le3$

   Como la relación es a lo sumo (y no al menos), el resultado es un único intervalo acotado y no dos semirrectas: el sentido de la desigualdad decide la forma de la respuesta.

2. 2

   Suma 1 en las tres partes. Sumar una constante en todos los miembros deja intactos los dos sentidos:

   $-3+1\le2x\le3+1\qquad\Longrightarrow\qquad-2\le2x\le4$

3. 3

   Divide las tres partes entre 2. El divisor es positivo, así que ningún signo se invierte:

   $-1\le x\le2$

4. 4

   Escribe la respuesta como intervalo cerrado.

   $[-1,2]$

   Los dos extremos están incluidos porque el enunciado original permitía la igualdad: los corchetes registran exactamente eso.

5. 5

   Verifica los extremos y el exterior. En $x=-1$: $|2(-1)-1|=|-3|=3\le3$ ✓. En $x=2$: $|4-1|=3\le3$ ✓. En el centro $x=\tfrac12$: $|0|=0$ ✓. Justo afuera, $x=3$ da $|5|=5$ ✗. Al comparar la desigualdad original con $[-1,2]$ en $90$ puntos racionales exactos, coinciden en todos ✓. Nota que el intervalo está centrado en $x=\tfrac12$, el punto donde $2x-1=0$, con radio $\tfrac32$.