Simplifica la expresión (9 + 2i)(9 − 2i). Escribe tu respuesta como número complejo.

Step-by-step solution

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   Reconoce que el par son conjugados complejos. Los dos factores solo difieren en el signo de la parte imaginaria, así que son conjugados: $z = 9 + 2i$ y $\bar z = 9 - 2i$. Vale la pena detectar ese patrón, porque garantiza que la respuesta saldrá real y además hay un atajo.

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   Usa la diferencia de cuadrados. Como $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ con $a = 9$ y $b = 2i$:

   $(9+2i)(9-2i) = 9^2 - (2i)^2 = 81 - 4i^2$

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   Aplica $i^2 = -1$. Este es el paso que provoca el cambio de signo, y saltárselo da la respuesta equivocada $77$:

   $81 - 4(-1) = 81 + 4 = 85$

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   Verifica desarrollando término a término. Multiplica el producto sin usar el atajo:

   $81 - 18i + 18i - 4i^2 = 81 + 0i + 4 = 85$

   Los términos centrales $-18i$ y $+18i$ se cancelan, y esa cancelación es justamente la razón por la que el producto de conjugados siempre es real.

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   Escribe la respuesta como número complejo. $85 = 85 + 0i$: la parte imaginaria es cero. En general $z\bar z = |z|^2$, y aquí $|z|^2 = 9^2 + 2^2 = 81 + 4 = 85$ ✓, una tercera confirmación independiente.