Usa la factorización para resolver (2x − 1)(2x − 1) − x · x = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Reescribir los productos repetidos como cuadrados. Los dos factores idénticos y las dos $x$ idénticas no son más que cuadrados escritos en forma larga:

   $(2x-1)(2x-1) - x \cdot x = (2x-1)^2 - x^2 = 0$

   Ver los cuadrados es todo el truco aquí; desarrollar hasta $3x^2 - 4x + 1$ también funciona, pero tira a la basura la estructura.

2. 2

   Reconocer el patrón de la diferencia de cuadrados. La identidad es

   $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

   con $a = 2x - 1$ y $b = x$. Nótese que $a$ es a su vez un binomio, lo cual no es problema: al patrón solo le importa que cada término sea un cuadrado perfecto.

3. 3

   Aplicar el patrón y simplificar cada corchete.

   $(2x-1)^2 - x^2 = \big[(2x-1) - x\big]\big[(2x-1) + x\big]$

   $(2x-1) - x = x - 1, \qquad (2x-1) + x = 3x - 1$

   $\Longrightarrow \quad (x - 1)(3x - 1) = 0$

   Al desarrollar de vuelta se obtiene $3x^2 - 4x + 1$, que concuerda con el desarrollo de la expresión original.

4. 4

   Usar la propiedad del producto nulo. Un producto vale cero exactamente cuando alguno de sus factores vale cero:

   $x - 1 = 0 \quad \Longrightarrow \quad x = 1$

   $3x - 1 = 0 \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{1}{3}$

5. 5

   Comprobar las dos raíces en la forma original. Para $x = 1$: $(2-1)^2 - 1^2 = 1 - 1 = 0$. Para $x = \tfrac13$: $\left(\tfrac23 - 1\right)^2 - \left(\tfrac13\right)^2 = \tfrac19 - \tfrac19 = 0$. Las dos funcionan, así que el conjunto solución es $\left\{1, \tfrac13\right\}$.