Sean a y b números reales positivos, m = a^3 + b^3 y n = a^2b + ab^2. Comparar m y n.

Step-by-step solution

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   Comparar restando, no dividiendo. Para dos expresiones, el recurso confiable es estudiar el signo de $m-n$: si $m-n>0$ entonces $m>n$; si $m-n=0$ son iguales; y si $m-n<0$ entonces $m<n$. Dividir también funcionaría aquí porque $a,b>0$, pero restar mantiene todo polinómico y factorizable.

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   Formar la diferencia y agrupar por pares.

   $m-n=a^3+b^3-a^2b-ab^2$

   Se agrupan los cubos con los términos mixtos que comparten variable:

   $m-n=(a^3-a^2b)+(b^3-ab^2)=a^2(a-b)+b^2(b-a)$

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   Sacar el factor común $(a-b)$. Como $b-a=-(a-b)$,

   $m-n=a^2(a-b)-b^2(a-b)=(a-b)(a^2-b^2)$

   y $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, de modo que

   $\boxed{m-n=(a+b)(a-b)^2}$

   Esta forma factorizada es toda la solución: convierte una comparación en una simple inspección de signos.

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   Leer el signo. Con $a>0$ y $b>0$ se tiene $a+b>0$, y $(a-b)^2\ge 0$ para cualesquiera números reales. Un número positivo por un número no negativo es no negativo, así que

   $m-n\ge 0\qquad\Longrightarrow\qquad m\ge n$

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   Determinar cuándo se da la igualdad. El producto $(a+b)(a-b)^2$ es cero solo si alguno de los factores es cero. Como $a+b>0$, la igualdad obliga a que $(a-b)^2=0$, es decir $a=b$. Entonces

   $a^3+b^3>a^2b+ab^2\ \text{ cuando } a\neq b,\qquad a^3+b^3=a^2b+ab^2\ \text{ cuando } a=b$

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   Comprobar con números. Con $a=3,b=1$: $m=27+1=28$ y $n=9+3=12$, y en efecto $(a+b)(a-b)^2=4\cdot 4=16=28-12$. Con $a=b=2$: $m=16$ y $n=16$, iguales como se predijo. La misma identidad demuestra además el hecho conocido de que $a^3+b^3\ge ab(a+b)$ para $a,b$ positivos.