Factoriza x³ + 4x² − 5 sobre los racionales y después sobre los reales.

Step-by-step solution

1. 1

   Busca una raíz racional. El término independiente es $-5$ y el coeficiente principal es $1$, así que los candidatos son $\pm 1,\pm 5$. Probando $x=1$:

   $1+4-5=0$

   de modo que $(x-1)$ es un factor.

2. 2

   Divide entre $(x-1)$. Escribiendo la cúbica con su término lineal ausente como $x^3+4x^2+0x-5$ y dividiendo:

   $x^3+4x^2-5=(x-1)\left(x^2+5x+5\right)$

3. 3

   Examina si el factor cuadrático tiene raíces racionales. Su discriminante es

   $D=5^2-4(1)(5)=25-20=5$

   $5$ es positivo pero no es un cuadrado perfecto, así que $x^2+5x+5$ es irreducible sobre los racionales aunque sí tenga dos raíces reales. Ahí está exactamente la frontera entre las dos respuestas.

4. 4

   Factoriza sobre los reales. Las raíces son $\tfrac{-5\pm\sqrt5}{2}$, así que

   $x^2+5x+5=\left(x+\frac{5+\sqrt5}{2}\right)\left(x+\frac{5-\sqrt5}{2}\right)$

5. 5

   Verifica las dos formas. Al desarrollar $(x-1)(x^2+5x+5)$ se obtiene $x^3+5x^2+5x-x^2-5x-5=x^3+4x^2-5$ $\checkmark$. Para la forma real, las dos constantes suman $5$ y su producto es $\tfrac{25-5}{4}=5$, lo que coincide con los coeficientes de $x^2+5x+5$ $\checkmark$.