Si a > 0, b > 0 y 2a + b = 1, halla el valor mínimo de a/(2 − 2a) + b/(2 − b).

Step-by-step solution

1. 1

   Reducir a una variable y fijar el dominio. La restricción da $b=1-2a$, y $a>0,\ b>0$ obliga a

   $0<a<\tfrac12$

   En ese intervalo $2-2a\in(1,2)$ y $2-b=1+2a\in(1,2)$, así que los dos denominadores se mantienen positivos y $T$ es continua. Sustituyendo,

   $T(a)=\frac{a}{2(1-a)}+\frac{1-2a}{1+2a}$

2. 2

   Derivar cada sumando por separado. Para el primer término, la regla del cociente da como numerador $1\cdot 2(1-a)-a\cdot(-2)=2$, de modo que

   $\frac{d}{da}\left[\frac{a}{2(1-a)}\right]=\frac{2}{4(1-a)^2}=\frac{1}{2(1-a)^2}$

   Para el segundo, el numerador es $(-2)(1+2a)-(1-2a)(2)=-4$, de modo que

   $\frac{d}{da}\left[\frac{1-2a}{1+2a}\right]=\frac{-4}{(1+2a)^2}$

   El primer término es creciente y el segundo decreciente, y por eso justamente existe un mínimo interior.

3. 3

   Igualar la derivada a cero y resolver.

   $\frac{1}{2(1-a)^2}=\frac{4}{(1+2a)^2}\quad\Longrightarrow\quad (1+2a)^2=8(1-a)^2$

   En $0<a<\frac12$ tanto $1+2a$ como $1-a$ son positivos, así que se toman las raíces cuadradas positivas:

   $1+2a=2\sqrt{2}\,(1-a)\quad\Longrightarrow\quad a\left(2+2\sqrt{2}\right)=2\sqrt{2}-1$

   $a=\frac{2\sqrt{2}-1}{2+2\sqrt{2}}=\frac{5-3\sqrt{2}}{2}\approx 0.378680$

   (en el último paso se multiplica arriba y abajo por $\sqrt{2}-1$, usando $(1+\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)=1$). Entonces $b=1-2a=3\sqrt{2}-4\approx 0.242641>0$, así que el punto crítico es admisible.

4. 4

   Evaluar cada término en forma exacta. Con $1-a=\frac{3(\sqrt{2}-1)}{2}$,

   $\frac{a}{2-2a}=\frac{5-3\sqrt{2}}{6(\sqrt{2}-1)}=\frac{(5-3\sqrt{2})(\sqrt{2}+1)}{6}=\frac{2\sqrt{2}-1}{6}$

   y con $2-b=6-3\sqrt{2}$,

   $\frac{b}{2-b}=\frac{3\sqrt{2}-4}{3(2-\sqrt{2})}=\frac{(3\sqrt{2}-4)(2+\sqrt{2})}{6}=\frac{\sqrt{2}-1}{3}$

5. 5

   Sumarlos y confirmar que es el mínimo.

   $T_{\min}=\frac{2\sqrt{2}-1}{6}+\frac{2\sqrt{2}-2}{6}=\frac{4\sqrt{2}-3}{6}\approx 0.442809$

   Se comparan los extremos del intervalo abierto: cuando $a\to 0^{+}$, $T\to 1$; cuando $a\to\tfrac12^{-}$, $T\to\tfrac12$. Los dos superan $0.4428$, así que el punto crítico interior es el mínimo global.

6. 6

   Cuidado con dos respuestas erróneas muy tentadoras. Sustituir el aparentemente simétrico $a=b=\frac13$ da $\frac14+\frac15=\frac{9}{20}=0.45$, que queda cerca pero no es el mínimo: $a=b$ no satisface de forma equilibrada la restricción ponderada. Y el valor $\frac15=0.2$ es imposible aquí, porque $T$ nunca baja de $\frac{4\sqrt{2}-3}{6}\approx 0.4428$ en todo $0<a<\frac12$. El mínimo exacto es $\frac{4\sqrt{2}-3}{6}$.