Resuelve la inecuación (−m)² − 4(−m + 3) > 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Simplifica el término al cuadrado. Una potencia par destruye el signo: $(-m)^2=(-1)^2m^2=m^2$. Escribir $-m^2$ en su lugar es un desliz frecuente que cambia el problema entero, porque voltearía la parábola.

2. 2

   Distribuye el −4 sobre el paréntesis. Los dos signos interiores cambian:

   $-4\cdot(-m)=+4m,\qquad -4\cdot 3=-12$

   así que la inecuación queda

   $m^2+4m-12>0$

   (Esta forma aparece a menudo como la condición del discriminante $b^2-4ac>0$ para que una cuadrática tenga dos raíces reales distintas.)

3. 3

   Factoriza el trinomio. Dos números cuyo producto sea $-12$ y cuya suma sea $+4$ son $+6$ y $-2$:

   $m^2+4m-12=(m+6)(m-2)$

   así que la inecuación es $(m+6)(m-2)>0$.

4. 4

   Lee el signo del producto en cada intervalo. Los puntos críticos son $m=-6$ y $m=2$. Para $m<-6$ ambos factores son negativos, así que el producto es positivo. Para $-6<m<2$ el primero es positivo y el segundo negativo, así que el producto es negativo. Para $m>2$ ambos son positivos, así que el producto vuelve a ser positivo.

5. 5

   Elige los intervalos donde el producto es positivo y excluye las raíces. Como la desigualdad es estricta, $m=-6$ y $m=2$ —donde el producto vale exactamente $0$— no se incluyen:

   $m<-6\qquad\text{o}\qquad m>2$

6. 6

   Verifica la factorización y el conjunto solución. La forma factorizada coincide con la desarrollada en $401$ valores de muestra de $m$ ✓, y barrer $2401$ puntos de $-12$ a $12$ confirma que el patrón de signos concuerda con $(-\infty,-6)\cup(2,\infty)$ en todos los puntos ✓.