Resuelve 1/(x(x + 2)) − 1/(x + 1)² = 1/12.

Step-by-step solution

1. 1

   Detecta la relación escondida entre los dos denominadores. Desarrollando, $x(x+2)=x^{2}+2x$, mientras que $(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1$. Los dos se diferencian exactamente en $1$, así que con

   $u=(x+1)^{2}$

   se tiene $x(x+2)=u-1$, y la ecuación se reduce a un problema de una sola variable. Quitar denominadores directamente produciría en cambio una cuártica.

2. 2

   Reescríbelo en términos de u.

   $\frac{1}{u-1}-\frac{1}{u}=\frac{1}{12}$

3. 3

   Combina el miembro izquierdo. Los numeradores se telescopian:

   $\frac{u-(u-1)}{u(u-1)}=\frac{1}{u^{2}-u}$

   así que la ecuación es $\dfrac{1}{u^{2}-u}=\dfrac{1}{12}$, es decir,

   $u^{2}-u-12=0$

4. 4

   Resuelve la cuadrática en u.

   $(u-4)(u+3)=0\quad\Longrightarrow\quad u=4\ \text{o}\ u=-3$

5. 5

   Descarta el valor imposible y deshaz la sustitución. Como $u=(x+1)^{2}$ es un cuadrado, $u=-3$ es imposible. De $u=4$:

   $(x+1)^{2}=4\quad\Longrightarrow\quad x+1=\pm 2\quad\Longrightarrow\quad x=1\ \text{o}\ x=-3$

   $\boxed{x=1\ \text{o}\ x=-3}$

6. 6

   Comprueba ambas raíces en la ecuación original y confirma el dominio. Los valores excluidos son $x=0$, $x=-2$ y $x=-1$; ninguna de las dos raíces está entre ellos. En $x=1$: $\tfrac{1}{1\cdot 3}-\tfrac{1}{4}=\tfrac13-\tfrac14=\tfrac{1}{12}$ ✓. En $x=-3$: $\tfrac{1}{(-3)(-1)}-\tfrac{1}{4}=\tfrac13-\tfrac14=\tfrac{1}{12}$ ✓. La simetría de las dos raíces respecto de $x=-1$ es la esperable, ya que toda la ecuación depende de $x$ solo a través de $(x+1)^{2}$.