Resolver 3x⁴ + 18x³ + 38x² + 32x + 12 = 0. ¿Tiene alguna solución real?

Step-by-step solution

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   Probar primero los candidatos obvios — y descartarlos. Los coeficientes hacen pensar que la cuártica podría ser $3(x+1)^{2}(x+2)^{2}$, y esa conjetura se comprueba fácil por sustitución:

   $f(-1)=3-18+38-32+12=3,\qquad f(-2)=48-144+152-64+12=4.$

   Ninguno da cero, así que $x=-1$ y $x=-2$ no son raíces. Desarrollar la conjetura confirma por qué: $3(x+1)^{2}(x+2)^{2}=3x^{4}+18x^{3}+39x^{2}+36x+12$, que difiere del polinomio dado en los términos en $x^{2}$ y en $x$.

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   Descartar toda raíz racional. Por el teorema de la raíz racional, cualquier raíz racional es $\pm\frac{p}{q}$ con $p\mid 12$ y $q\mid 3$, es decir, alguno de $\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm12,\pm\tfrac13,\pm\tfrac23,\pm\tfrac43$. Todos los coeficientes son positivos, así que $f(x)>0$ para todo $x\ge 0$ y solo hay que probar los candidatos negativos — y cada uno de ellos da un valor distinto de cero. No hay raíz racional y, de hecho, tampoco hay factorización racional en cuadráticas.

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   Completar el cuadrado al nivel de la cuártica. Se busca una constante $a$ que haga de $f(x)-3(x^{2}+3x+a)^{2}$ una cuadrática definida positiva. Como

   $3(x^{2}+3x+a)^{2}=3x^{4}+18x^{3}+(27+6a)x^{2}+18ax+3a^{2},$

   la elección $a=\tfrac32$ deja exactamente

   $f(x)=3\left(x^{2}+3x+\tfrac32\right)^{2}+2x^{2}+5x+\tfrac{21}{4}.$

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   Mostrar que la cuadrática sobrante es siempre positiva. Para $2x^{2}+5x+\tfrac{21}{4}$ el discriminante es

   $25-4(2)\left(\tfrac{21}{4}\right)=25-42=-17<0,$

   y su valor mínimo es $\tfrac{21}{4}-\tfrac{25}{8}=\tfrac{17}{8}$. Como el primer término es un cuadrado multiplicado por $3$, nunca es negativo, así que

   $f(x)\ge \tfrac{17}{8}>0\quad\text{para todo valor real de }x.$

   Una cuártica que jamás toca el cero no tiene raíces reales.

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   Localizar numéricamente las cuatro raíces complejas. Como los coeficientes son reales, las raíces vienen en pares conjugados. Resolviendo numéricamente,

   $x\approx-2.384922\pm 0.678668i,\qquad x\approx-0.615078\pm 0.521776i.$

   Comprobación con Vieta: las cuatro raíces suman $-6=-\tfrac{18}{3}$ ✓ y su producto es $4=\tfrac{12}{3}$ ✓. La factorización real correspondiente es $3(x^{2}+4.76984x+6.14844)(x^{2}+1.23016x+0.65057)$, y ninguno de los dos factores tiene coeficientes racionales.