Hallar las soluciones reales de la ecuación (x + 4)² + 17(x + 4) + 72 = 0.

Step-by-step solution

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   Fijarse en el bloque que se repite, no en el grado desarrollado. La expresión $x+4$ aparece al cuadrado y luego a la primera potencia, y nada más contiene $x$. Esa es la marca de una ecuación reducible a cuadrática: desarrollar hasta $x^2 + 25x + 156 = 0$ funcionaría, pero se pierde la estructura que hace fácil la factorización.

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   Sustituir $u = x + 4$. Al reemplazar el bloque repetido, la ecuación se convierte en una cuadrática sencilla:

   $u^2 + 17u + 72 = 0$

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   Factorizar la cuadrática en $u$. Se buscan dos números cuyo producto sea $72$ y cuya suma sea $17$. Como $8 \cdot 9 = 72$ y $8 + 9 = 17$:

   $(u+8)(u+9) = 0 \quad\Longrightarrow\quad u = -8 \ \text{ o } \ u = -9$

   El discriminante es $17^2 - 4(72) = 1 > 0$, lo que confirma dos raíces reales distintas.

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   Deshacer la sustitución — es el paso que más se olvida. El enunciado pide $x$, no $u$, así que se vuelve a poner $u = x+4$:

   $x + 4 = -8 \ \Rightarrow \ x = -12, \qquad x + 4 = -9 \ \Rightarrow \ x = -13$

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   Comprobar ambos valores en la ecuación original. Para $x=-12$: $(-8)^2 + 17(-8) + 72 = 64 - 136 + 72 = 0$. Para $x=-13$: $(-9)^2 + 17(-9) + 72 = 81 - 153 + 72 = 0$. Como la sustitución es un simple desplazamiento (nunca se eleva al cuadrado ni se extraen raíces en ambos miembros), no pueden aparecer soluciones extrañas.