Resuelve la ecuación cúbica x³ − 3x + 2 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Busca una raíz racional. Por el teorema de la raíz racional, toda raíz racional divide al término independiente $2$, así que las candidatas son $\pm1,\pm2$. Probando $x=1$:

   $1-3+2=0\ \checkmark$

   de modo que $x=1$ es raíz y $(x-1)$ es factor. Fíjate en que falta el término en $x^2$: su coeficiente es $0$, y ese hueco hay que arrastrarlo a la división.

2. 2

   Divide entre (x − 1) con la división sintética. Con los coeficientes $1,\ 0,\ -3,\ 2$ y raíz del divisor $1$:

   $1\ \to\ 0+1=1\ \to\ -3+1=-2\ \to\ 2-2=0$

   El $0$ final es el resto, que confirma la raíz, y el cociente es $x^2+x-2$:

   $x^3-3x+2=(x-1)\left(x^2+x-2\right)$

3. 3

   Factoriza la cuadrática. Dos números cuyo producto es $-2$ y cuya suma es $+1$ son $+2$ y $-1$:

   $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$

4. 4

   Reúne el factor repetido. El factor $(x-1)$ aparece dos veces:

   $x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)$

   Esa es la señal de una raíz doble — conviene decirlo de forma explícita en vez de listar $x=1$ dos veces como si fueran dos respuestas distintas.

5. 5

   Lee las soluciones.

   $x=1\ \text{(multiplicidad 2)},\qquad x=-2$

   Una cúbica tiene tres raíces contadas con multiplicidad, así que con esto quedan todas.

6. 6

   Interpreta gráficamente la raíz doble. En una raíz de multiplicidad par la curva toca el eje sin cruzarlo: $x=1$ es un mínimo local de $f(x)=x^3-3x+2$ (de hecho $f'(x)=3x^2-3=0$ en $x=1$, así que allí $f$ y $f'$ se anulan a la vez). En $x=-2$ la gráfica cruza con normalidad.

7. 7

   Verifica la factorización y las raíces. Comparar $x^3-3x+2$ con $(x-1)^2(x+2)$ en todos los enteros de $-40$ a $39$ da coincidencia exacta ✓, y sustituir $x=1$ y $x=-2$ devuelve exactamente $0$ en ambos casos ✓. Vieta también encaja: las raíces suman $1+1-2=0=-b/a$ ✓.