Dado 2x − y = 480 y 2y − x + m/3 = 0, hallar x e y en función de m, y los valores de m para los que x + y ≤ 8m/3.

Step-by-step solution

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   Separar las dos ecuaciones de la desigualdad. Las dos ecuaciones determinan $x$ e $y$ de forma única para cada $m$; la desigualdad filtra después qué valores de $m$ son aceptables. Resolver primero y comprobar después es el único orden que funciona, porque la desigualdad por sí sola no puede fijar $x$ e $y$.

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   Poner la segunda ecuación en forma estándar. De $2y-x+\dfrac{m}{3}=0$,

   $-x+2y=-\frac{m}{3}$

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   Sustituir y despejar $x$, vigilando el signo. De la primera ecuación, $y=2x-480$; al sustituir,

   $-x+2(2x-480)=-\frac{m}{3}\ \Longrightarrow\ 3x-960=-\frac{m}{3}\ \Longrightarrow\ 9x-2880=-m$

   Ahora hay que aislar con cuidado: $9x=2880-m$, de modo que

   $x=\frac{2880-m}{9}$

   El lado derecho de $9x-2880=-m$ es $-m$, así que al sumar $2880$ queda $2880-m$, no $m-2880$. Ese único signo es toda la dificultad del problema.

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   Sustituir hacia atrás para hallar $y$.

   $y=2x-480=\frac{5760-2m}{9}-\frac{4320}{9}=\frac{1440-2m}{9}$

   Comprobación con $m=0$: $x=320$, $y=160$, y en efecto $2(320)-160=480$ ✓ y $2(160)-320+0=0$ ✓.

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   Formar $x+y$ y aplicar la desigualdad.

   $x+y=\frac{2880-m+1440-2m}{9}=\frac{4320-3m}{9}=\frac{1440-m}{3}$

   de modo que la condición $x+y\le\dfrac{8m}{3}$ se convierte en

   $\frac{1440-m}{3}\le\frac{8m}{3}\ \Longrightarrow\ 1440-m\le 8m\ \Longrightarrow\ 1440\le 9m\ \Longrightarrow\ m\ge 160$

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   Verificar en la frontera y a ambos lados. En $m=160$: $x=\tfrac{2720}{9}$, $y=\tfrac{1120}{9}$, $x+y=\tfrac{1280}{3}$ y $\tfrac{8m}{3}=\tfrac{1280}{3}$ — hay igualdad, así que $160$ queda incluido ✓. En $m=900$: $x+y=180\le 2400$ ✓. En $m=0$: $x+y=480$ pero $\tfrac{8m}{3}=0$, así que la desigualdad falla ✓, lo que confirma que los valores pequeños de $m$ quedan excluidos.