Factoriza usando la fórmula de la suma o diferencia de dos cubos: 125x³ − 64.

Step-by-step solution

1. 1

   Confirma que los dos términos son realmente cubos. $125=5^{3}$ y $x^{3}$ ya es un cubo, así que $125x^{3}=(5x)^{3}$; y $64=4^{3}$. Como la operación entre ellos es una resta, se aplica la fórmula de la diferencia de cubos.

2. 2

   Escribe la identidad. $a^{3}-b^{3}=(a-b)\left(a^{2}+ab+b^{2}\right),$ con $a=5x$ y $b=4$. Observa que el signo central del factor cuadrático es $+$, el opuesto del signo del factor binomial.

3. 3

   Arma el factor lineal. $a-b=5x-4 .$

4. 4

   Arma el factor cuadrático. $a^{2}=(5x)^{2}=25x^{2},\qquad ab=(5x)(4)=20x,\qquad b^{2}=4^{2}=16,$ así que el segundo factor es $25x^{2}+20x+16$. Su discriminante es $400-1600=-1200<0$, así que no se factoriza más sobre los números reales.

5. 5

   Escribe el resultado y verifícalo. $125x^{3}-64=(5x-4)\left(25x^{2}+20x+16\right).$ Al desarrollar: $5x\cdot 25x^{2}=125x^{3}$, y todos los demás términos se cancelan por pares, quedando $-4\cdot 16=-64$.