Resuelve la inecuación (2x - 1)/(1 - x) ≥ 0.

Step-by-step solution

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   No multipliques en cruz. Multiplicar ambos lados por $1-x$ exigiría conocer su signo, que cambia en $x=1$. El método seguro para una inecuación racional es una tabla de signos construida con los ceros del numerador y del denominador.

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   Halla los puntos críticos.

   $2x-1=0\Rightarrow x=\frac12\quad(\text{cero del numerador}),\qquad 1-x=0\Rightarrow x=1\quad(\text{cero del denominador, excluido})$

   Estos dos puntos parten la recta en $\left(-\infty,\tfrac12\right)$, $\left(\tfrac12,1\right)$ y $(1,\infty)$. La expresión no puede cambiar de signo dentro de ninguno de ellos.

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   Prueba un valor en cada intervalo. En $x=0$: $\dfrac{-1}{1}=-1<0$. En $x=\tfrac34$: $\dfrac{3/2-1}{1/4}=\dfrac{1/2}{1/4}=2>0$. En $x=2$: $\dfrac{3}{-1}=-3<0$. Así que el patrón de signos es negativo, positivo, negativo: la expresión solo es positiva en la franja central.

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   Decide los extremos, que es donde se pierden puntos. En $x=\tfrac12$ la fracción vale $\dfrac{0}{1/2}=0$, y $0\ge0$ es cierto, así que $x=\tfrac12$ sí se incluye. En $x=1$ el denominador es $0$ y la expresión no está definida, así que $x=1$ se excluye, sin importar hacia dónde apunte la desigualdad.

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   Escribe la solución como un intervalo semiabierto.

   $\frac12\le x<1,\qquad\left[\frac12,\ 1\right)$

   La asimetría entre los dos corchetes es todo el contenido del problema.

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   Verifica por barrido. Evaluar la fracción en $6001$ puntos de $[-3,3]$ (saltando $x=1$) y comparar con el intervalo propuesto dio cero discrepancias ✓.