Resolver la desigualdad a·x² + 2x + 1 > 0 en x, tratando a como parámetro real, y dar todos los casos.

Step-by-step solution

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   Calcular el discriminante una sola vez. Para $f(x) = ax^2 + 2x + 1$ (cuando $a \ne 0$),

   $\Delta = 2^2 - 4a(1) = 4 - 4a = 4(1-a)$

   El signo de $\Delta$ junto con el signo de $a$ determinan todo, así que la separación en casos se hace sobre esas dos cantidades.

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   Tratar primero el caso degenerado a = 0. El término cuadrático desaparece y la desigualdad se vuelve lineal:

   $2x + 1 > 0 \quad\Longrightarrow\quad x > -\frac{1}{2}$

   Olvidar que $a$ puede ser cero es la omisión clásica en los problemas con parámetro — no está garantizado que el coeficiente principal sea distinto de cero.

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   Caso a > 1 (parábola hacia arriba, sin raíces reales). Aquí $\Delta = 4(1-a) < 0$ y $a > 0$, así que la parábola abre hacia arriba y nunca toca el eje:

   $ax^2 + 2x + 1 > 0 \ \text{ para todo } x \in \mathbb{R}$

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   Caso a = 1 (cuadrado perfecto). $\Delta = 0$ y $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$, que es positivo en todas partes salvo en su único cero:

   $x \ne -1$

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   Caso 0 < a < 1 (parábola hacia arriba, dos raíces). Ahora $\Delta > 0$ y las raíces son

   $x = \frac{-2 \pm \sqrt{4-4a}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1-a}}{a}$

   Una parábola hacia arriba es positiva fuera de sus raíces:

   $x < \frac{-1-\sqrt{1-a}}{a} \quad \text{o} \quad x > \frac{-1+\sqrt{1-a}}{a}$

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   Caso a < 0 (parábola hacia abajo). Entonces $1 - a > 1$, así que $\sqrt{1-a} > 1$ y $\Delta > 0$: de nuevo dos raíces reales. Una parábola hacia abajo es positiva entre sus raíces. Como dividir entre el $a$ negativo invierte su orden, $\tfrac{-1+\sqrt{1-a}}{a} < 0 < \tfrac{-1-\sqrt{1-a}}{a}$, y la solución es

   $\frac{-1+\sqrt{1-a}}{a} < x < \frac{-1-\sqrt{1-a}}{a}$

   Comprobación con $a = -1$: las raíces son $\tfrac{-1 \pm \sqrt2}{-1}$, es decir, $-0.414214$ y $2.414214$, y en el punto medio $x = 1$ la expresión vale $-1 + 2 + 1 = 2 > 0$, lo que confirma el intervalo.