Describe y traza la región del plano definida por las desigualdades simultáneas x² + y² ≤ 9 e y ≤ x + 1, incluidos los puntos donde la recta frontera corta a la circunferencia.

Step-by-step solution

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   Interpretar la primera desigualdad como un disco lleno. La ecuación $x^{2}+y^{2}=9$ es la circunferencia centrada en el origen de radio $\sqrt{9}=3$. Como la desigualdad es $\leq$, la región es la circunferencia junto con su interior: un disco cerrado. Conviene dibujar la circunferencia con trazo continuo para señalar que la frontera está incluida.

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   Interpretar la segunda desigualdad como un semiplano cerrado. La frontera $y=x+1$ es una recta de pendiente $1$ que pasa por $(0,1)$ y $(-1,0)$. Como $y\leq x+1$, se conserva el lado de abajo de la recta; al probar el origen, $0\leq 0+1$ resulta verdadero, así que el semiplano que contiene a $(0,0)$ es el correcto. Esta recta también se dibuja con trazo continuo.

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   Hallar dónde la recta frontera corta a la circunferencia. Sustituyendo $y=x+1$ en $x^{2}+y^{2}=9$:

   $x^{2}+(x+1)^{2}=9\ \Longrightarrow\ 2x^{2}+2x+1=9\ \Longrightarrow\ 2x^{2}+2x-8=0\ \Longrightarrow\ x^{2}+x-4=0$

   La fórmula general da

   $x=\frac{-1\pm\sqrt{1+16}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{2}$

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   Convertirlas en los dos puntos de intersección. Usando $y=x+1$ en cada raíz,

   $\left(\frac{-1+\sqrt{17}}{2},\ \frac{1+\sqrt{17}}{2}\right)\quad\text{y}\quad\left(\frac{-1-\sqrt{17}}{2},\ \frac{1-\sqrt{17}}{2}\right)$

   Numéricamente son alrededor de $(1.5616,\,2.5616)$ y $(-2.5616,\,-1.5616)$; al sustituir cualquiera de los dos en $x^{2}+y^{2}$ se obtiene exactamente $9.0$, así que ambos están realmente sobre la circunferencia. Como el discriminante $17>0$, la recta es una secante genuina, no una tangente.

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   Describir la región resultante. La respuesta es la porción mayor del disco cerrado: todo lo que está dentro de la circunferencia de radio $3$ o sobre ella y que además queda sobre la recta $y=x+1$ o por debajo de ella. La cuerda que une los dos puntos de intersección recorta el pequeño segmento circular que queda por encima de la recta, y ese segmento es la única parte del disco que se excluye. Las dos piezas de la frontera —el arco de circunferencia y la cuerda— pertenecen a la región, porque ambas desigualdades son no estrictas.