Un tren debía cubrir la distancia entre dos ciudades en 10 horas. Tras las primeras 9 horas a la velocidad prevista redujo su velocidad en 7 km/h y llegó 6 minutos tarde. Halla la velocidad original del tren.

Step-by-step solution

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   Toma como incógnita la velocidad y expresa la distancia a partir de ella. Sea $v$ = velocidad original en km/h. Como el plan eran $10$ horas a velocidad $v$, la distancia total es

   $S=10v$

   Elegir $v$ y no $S$ como incógnita es lo que mantiene lineal el álgebra: la distancia se cancela sola.

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   Divide el viaje en dos fases. En las primeras $9$ horas el tren recorre $9v$ km, así que la distancia restante es

   $10v-9v=v\ \text{km}$

   Esta es la consecuencia elegante del planteamiento: el tramo que queda es numéricamente igual a la velocidad.

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   Escribe el retraso como una ecuación. El tramo restante se recorre a $v-7$ km/h, lo que tarda $\dfrac{v}{v-7}$ horas. Seis minutos son $\tfrac{6}{60}=\tfrac{1}{10}$ de hora, así que el viaje real duró $10+\tfrac1{10}=\tfrac{101}{10}$ horas:

   $9+\frac{v}{v-7}=\frac{101}{10}$

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   Resuelve la ecuación racional resultante. Resta $9$:

   $\frac{v}{v-7}=\frac{101}{10}-\frac{90}{10}=\frac{11}{10}$

   Multiplicando en cruz, $10v=11(v-7)=11v-77$, luego $v=77$ km/h. El caso extraño $v=7$ queda excluido porque haría cero la velocidad reducida.

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   Comprueba con el enunciado original. Distancia $=10\cdot77=770$ km. Las primeras $9$ horas cubren $693$ km y quedan $77$ km a $77-7=70$ km/h, que tardan $77/70=1.1$ h $=1$ h $6$ min. Total $9+1.1=10.1$ h, es decir exactamente $6$ minutos más que las $10$ horas previstas ✓.