Factoriza x⁴ + 2x³y + 3x²y² + 2xy³ + y⁴.

Step-by-step solution

1. 1

   Lee el patrón de los coeficientes. Al listarlos en orden queda

   $1,\;2,\;3,\;2,\;1$

   un palíndromo, y además la expresión es homogénea de grado $4$: todos los términos tienen grado total $4$. Un palíndromo homogéneo de grado $4$ es un indicio fuerte de que se trata del cuadrado de una expresión homogénea de grado $2$.

2. 2

   Plantea el cuadrado de un trinomio general. Prueba con $\left(x^2+kxy+y^2\right)^2$ y desarrolla usando $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$ con $a=x^2$, $b=kxy$, $c=y^2$:

   $\left(x^2+kxy+y^2\right)^2=x^4+2kx^3y+\left(k^2+2\right)x^2y^2+2kxy^3+y^4$

3. 3

   Iguala los coeficientes. Comparando con la expresión objetivo:

   $2k=2\;\Longrightarrow\;k=1,\qquad k^2+2=1+2=3\;\checkmark$

   Las dos condiciones se cumplen con el mismo $k$, y por eso justamente existe la factorización. Si el coeficiente de $x^2y^2$ hubiera sido cualquier otro distinto de $3$, ningún valor único de $k$ habría servido.

4. 4

   Escribe la factorización.

   $x^4+2x^3y+3x^2y^2+2xy^3+y^4=\left(x^2+xy+y^2\right)^2$

5. 5

   Comprueba con números y observa la irreducibilidad. En $x=2$, $y=1$: la expresión original vale $16+16+12+4+1=49$, y $\left(4+2+1\right)^2=7^2=49\;\checkmark$. El factor interior $x^2+xy+y^2$ no se factoriza más sobre los reales —visto como cuadrática en $x$, su discriminante es $y^2-4y^2=-3y^2<0$—, así que esta es la factorización completa.