Factoriza E = 4x²y³ + 4x³y² + a²x + a²y + 12x + 12y.

Step-by-step solution

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   Busca un patrón repetido en lugar de un único factor común. Ningún factor divide a los seis términos, así que la herramienta es la agrupación. Los cuatro últimos términos ya son sugerentes: $a^2x+a^2y$ y $12x+12y$ contienen ambos $x+y$.

2. 2

   Factoriza primero las parejas fáciles.

   $a^2x+a^2y=a^2(x+y),\qquad 12x+12y=12(x+y)$

   Dos de las tres parejas ya comparten el binomio $x+y$, así que hay que lograr que la pareja restante también encaje.

3. 3

   Fuerza la primera pareja a tomar la misma forma. Los dos términos iniciales contienen $4x^2y^2$:

   $4x^2y^3+4x^3y^2=4x^2y^2(y+x)=4x^2y^2(x+y)$

   Este es el paso que resuelve el problema: notar que $y^3$ y $x^3$ dejan exactamente $y$ y $x$ después de sacar $4x^2y^2$.

4. 4

   Reúne el binomio común. Los tres grupos llevan ahora $x+y$:

   $E=(x+y)\left(4x^2y^2+a^2+12\right)$

5. 5

   Comprueba numéricamente y confirma que está completa. En $x=1$, $y=2$, $a=3$: la expresión original da $4(1)(8)+4(1)(4)+9+18+12+24=32+16+63=111$, y la forma factorizada da $3\left(16+9+12\right)=3\cdot 37=111\;\checkmark$. El segundo factor es una suma de términos no negativos más $12$, así que nunca se anula y no aporta más factores reales.