Demuestra que x = 1 es una raíz de (2x² − 4x + 3)(x² − 2x + 2) = 1 y que la ecuación no tiene ninguna otra raíz.

Step-by-step solution

1. 1

   Verifica por sustitución la raíz dada. En $x=1$:

   $2(1)-4(1)+3=1,\qquad 1-2(1)+2=1$

   así que el miembro izquierdo vale $1\cdot 1=1$ ✓. Eso resuelve la existencia; el trabajo de verdad es la unicidad.

2. 2

   Completa el cuadrado en el primer factor. Acotar cada factor por debajo es la idea clave, porque un producto de dos cantidades que valen cada una al menos $1$ solo puede dar $1$ si las dos valen exactamente $1$:

   $2x^{2}-4x+3=2\left(x^{2}-2x\right)+3=2\left[(x-1)^{2}-1\right]+3=2(x-1)^{2}+1$

3. 3

   Completa el cuadrado en el segundo factor.

   $x^{2}-2x+2=(x-1)^{2}+1$

   Los dos factores tienen ahora, a la vista, la forma "cuadrado no negativo más $1$".

4. 4

   Acota cada factor. Para todo $x$ real, $(x-1)^{2}\ge 0$, así que

   $2x^{2}-4x+3\ge 1\qquad\text{y}\qquad x^{2}-2x+2\ge 1$

   con igualdad en cada caso solo en $x=1$.

5. 5

   Concluye con el argumento del producto. Multiplicar dos números que valen cada uno $\ge 1$ da un resultado $\ge 1$, y el producto vale $1$ únicamente cuando los dos factores valen $1$. Así que

   $\left[2(x-1)^{2}+1\right]\left[(x-1)^{2}+1\right]=1\ \Longleftrightarrow\ (x-1)^{2}=0\ \Longleftrightarrow\ x=1$

   $\boxed{x=1\text{ es la única raíz real}}$

6. 6

   Comprueba desarrollando. Tomando $u=(x-1)^{2}\ge 0$, la ecuación se convierte en $(2u+1)(u+1)=1$, es decir $2u^{2}+3u=0$, o sea $u(2u+3)=0$. Las raíces son $u=0$ y $u=-\tfrac32$; la segunda es imposible para un cuadrado, así que queda $u=0$ y $x=1$ ✓: la misma conclusión a la que se llegó algebraicamente.