Factoriza por completo x³ - 7x + 6.

Step-by-step solution

1. 1

   Enumera las posibles raíces racionales. En una cúbica mónica de coeficientes enteros, toda raíz racional debe dividir al término constante $6$:

   $\pm1,\ \pm2,\ \pm3,\ \pm6$

   No hay término en $x^{2}$, lo que significa que las tres raíces suman cero (Vieta) — una restricción útil que conviene tener presente mientras se prueba.

2. 2

   Encuentra la primera raíz por sustitución. Prueba $x=1$:

   $1^{3}-7(1)+6=1-7+6=0\ \checkmark$

   Así que $x=1$ es raíz y, por el teorema del factor, $x-1$ divide exactamente a la cúbica.

3. 3

   Divide entre $x-1$. La división sintética con los coeficientes $1,\;0,\;-7,\;6$ (el $0$ ocupa el lugar del término ausente en $x^{2}$) da

   $1\ \big|\ 1\quad0\quad-7\quad6\ \longrightarrow\ 1\quad1\quad-6\quad\boxed{0}$

   de modo que el cociente es $x^{2}+x-6$ y el resto es $0$ ✓, lo que confirma que la división fue exacta:

   $x^{3}-7x+6=(x-1)\left(x^{2}+x-6\right)$

4. 4

   Factoriza la cuadrática. Dos números con producto $-6$ y suma $+1$: la pareja $3$ y $-2$ funciona, ya que $3\times(-2)=-6$ y $3+(-2)=1$ ✓:

   $x^{2}+x-6=(x+3)(x-2)$

5. 5

   Arma el resultado y verifica.

   $x^{3}-7x+6=(x-1)(x-2)(x+3)$

   La identidad se confirmó en todos los enteros desde $-30$ hasta $29$ ✓. Comprobaciones de Vieta: las raíces $1,2,-3$ suman $0$, lo que coincide con la ausencia del término en $x^{2}$ ✓, y su producto es $1\cdot2\cdot(-3)=-6=-\dfrac{\text{constante}}{\text{principal}}$ ✓.