Factoriza por completo (x² + xy + y²)² − 4xy(x² + y²).

Step-by-step solution

1. 1

   Desarrollar el cuadrado con cuidado. Usando $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc$ con $a=x^{2}$, $b=xy$, $c=y^{2}$:

   $\left(x^{2}+xy+y^{2}\right)^{2}=x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}+2x^{3}y+2x^{2}y^{2}+2xy^{3}=x^{4}+2x^{3}y+3x^{2}y^{2}+2xy^{3}+y^{4}.$

   Fíjate en que $2ac=2x^{2}y^{2}$ se combina con $b^{2}=x^{2}y^{2}$ para dar el coeficiente $3$.

2. 2

   Restar la segunda pieza. Como $4xy\left(x^{2}+y^{2}\right)=4x^{3}y+4xy^{3}$,

   $x^{4}+2x^{3}y+3x^{2}y^{2}+2xy^{3}+y^{4}-4x^{3}y-4xy^{3}=x^{4}-2x^{3}y+3x^{2}y^{2}-2xy^{3}+y^{4}.$

   Solo cambian de signo los dos términos cruzados de grado impar; el resultado sigue siendo simétrico en $x$ e $y$ y capicúa en sus coeficientes $1,-2,3,-2,1$.

3. 3

   Aprovechar la estructura capicúa. Una cuártica simétrica con coeficientes extremos iguales es candidata natural para

   $\left(x^{2}+axy+y^{2}\right)\left(x^{2}+bxy+y^{2}\right)=x^{4}+(a+b)x^{3}y+(ab+2)x^{2}y^{2}+(a+b)xy^{3}+y^{4}.$

   Que los coeficientes de $x^{3}y$ y de $xy^{3}$ salgan iguales es exactamente lo que ocurre en el objetivo, así que este planteamiento tiene la forma adecuada.

4. 4

   Igualar coeficientes y resolver. Comparando con $1,-2,3,-2,1$:

   $a+b=-2,\qquad ab+2=3\ \Rightarrow\ ab=1.$

   La pareja con suma $-2$ y producto $1$ es $a=b=-1$ (el discriminante $4-4=0$ indica que coinciden), así que ambos factores son el mismo:

   $x^{4}-2x^{3}y+3x^{2}y^{2}-2xy^{3}+y^{4}=\left(x^{2}-xy+y^{2}\right)^{2}.$

5. 5

   Enunciar la identidad y comprobarla. Por lo tanto

   $\left(x^{2}+xy+y^{2}\right)^{2}-4xy\left(x^{2}+y^{2}\right)=\left(x^{2}-xy+y^{2}\right)^{2}.$

   El factor $x^{2}-xy+y^{2}$ es positivo para todo real $(x,y)\ne(0,0)$, así que la expresión completa es un cuadrado perfecto y nunca es negativa. Comprobación numérica en $(x,y)=(2.4,1.1)$: ambos lados dan $18.7489$ ✓, y otras tres parejas aleatorias coinciden hasta nueve cifras.