Si x = 1/(√5 − 2) e y = 1/(√5 + 2), halla (1) x + y y xy, y (2) x² + y².

Step-by-step solution

1. 1

   Racionaliza primero ambos denominadores. Multiplicar por el conjugado convierte cada denominador en $\left(\sqrt5\right)^{2}-2^{2}=1$:

   $x=\frac{1}{\sqrt5-2}\cdot\frac{\sqrt5+2}{\sqrt5+2}=\sqrt5+2,\qquad y=\frac{1}{\sqrt5+2}\cdot\frac{\sqrt5-2}{\sqrt5-2}=\sqrt5-2$

   Los dos denominadores salen exactamente $1$, y por eso los números quedan tan limpios.

2. 2

   (1) Calcula la suma. Los $\pm 2$ se cancelan:

   $x+y=\left(\sqrt5+2\right)+\left(\sqrt5-2\right)=2\sqrt5$

3. 3

   Calcula el producto. Es una diferencia de cuadrados:

   $xy=\left(\sqrt5+2\right)\left(\sqrt5-2\right)=5-4=1$

   Observa que $x$ e $y$ son inversos el uno del otro, algo que se ve directamente en sus definiciones originales.

4. 4

   (2) Usa la identidad simétrica en lugar de elevar al cuadrado cada término.

   $x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy$

   Esto evita desarrollar dos cuadrados con radicales y es justamente la razón de haber hallado antes $x+y$ y $xy$.

5. 5

   Sustituye.

   $x^{2}+y^{2}=\left(2\sqrt5\right)^{2}-2(1)=20-2=18$

   $\boxed{x+y=2\sqrt5,\quad xy=1,\quad x^{2}+y^{2}=18}$

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   Comprueba directamente. $x=4.23607$ e $y=0.23607$: $x+y=4.47214=2\sqrt5$ ✓, $xy=1.00000$ ✓, y $x^{2}+y^{2}=17.9443+0.0557=18.000$ ✓. La identidad $x^{3}+y^{3}=(x+y)^{3}-3xy(x+y)$ daría análogamente $\left(2\sqrt5\right)^{3}-3\left(2\sqrt5\right)=40\sqrt5-6\sqrt5=34\sqrt5$.