Factoriza 6x² − 7ax + 2a² − 6x + 5a − 12.

Step-by-step solution

1. 1

   Trata a como una segunda variable. La expresión es cuadrática en $x$ y cuadrática en $a$, y no hay ningún término de grado mayor que $2$ en el par, así que es plausible que se factorice en dos factores lineales en $x$ y $a$.

2. 2

   Factoriza la parte de grado 2.

   $6x^{2}-7ax+2a^{2}=(3x-2a)(2x-a)$

   (Comprueba los términos cruzados: $3x\cdot(-a)+(-2a)\cdot 2x=-3ax-4ax=-7ax$. ✓)

3. 3

   Introduce las constantes desconocidas. La factorización completa tiene que ser

   $(3x-2a+p)(2x-a+q),\qquad pq=-12$

4. 4

   Iguala los coeficientes de x y de a. Al desarrollar, el coeficiente de $x$ es $3q+2p$ y el de $a$ es $-2q-p$. Los objetivos son $-6$ y $+5$:

   $3q+2p=-6,\qquad -2q-p=5$

5. 5

   Resuelve para p y q. De la segunda ecuación $p=-5-2q$; sustituyendo en la primera: $3q-10-4q=-6$, así que $-q=4$ y $q=-4$, $p=3$. Los dos cumplen $pq=3(-4)=-12$. ✓

   $\boxed{(3x-2a+3)(2x-a-4)}$

6. 6

   Desarrolla como comprobación final. $(3x-2a+3)(2x-a-4)=6x^2-3ax-12x-4ax+2a^2+8a+6x-3a-12=6x^2-7ax+2a^2-6x+5a-12$. ✓