Despeja k en 2·π·R·k·sen(a) − 2·π·a·k = m·g·tan(a) / (2·π).

Step-by-step solution

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   Observa que $k$ aparece en los dos términos de la izquierda. No hace falta desarrollar ningún miembro; todo el problema es una factorización. Los dos términos de la izquierda contienen el factor común $2\pi k$: $2\pi Rk\sin\alpha-2\pi ak=2\pi k\left(R\sin\alpha-a\right).$ Reunir $k$ en un único factor es lo que permite aislarla con una sola división.

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   Reescribe la ecuación con $k$ ya agrupada. $2\pi k\left(R\sin\alpha-a\right)=\frac{mg\tan\alpha}{2\pi}$ Todo lo que multiplica a $k$ está ahora en un solo paréntesis, y todo lo demás está a la derecha.

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   Divide entre el coeficiente completo de $k$. Dividir ambos miembros entre $2\pi\left(R\sin\alpha-a\right)$ da $k=\frac{\dfrac{mg\tan\alpha}{2\pi}}{2\pi\left(R\sin\alpha-a\right)}.$ Fíjate en que el $2\pi$ que ya estaba en el denominador de la derecha no cancela al nuevo: dividir entre $2\pi$ una segunda vez multiplica los denominadores entre sí.

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   Simplifica la fracción doble. Al multiplicar los dos denominadores, $k=\frac{mg\tan\alpha}{4\pi^{2}\left(R\sin\alpha-a\right)}.$ El $4\pi^{2}$ es el paso que más se falla: se suele escribir $2\pi$ o $2\pi^{2}$ en su lugar.

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   Indica la restricción. La división solo vale cuando $R\sin\alpha-a\neq 0,$ es decir, $\sin\alpha\neq a/R$. Si $R\sin\alpha=a$, el miembro izquierdo es idénticamente cero, así que la ecuación no tiene solución en $k$ salvo que $mg\tan\alpha$ también sea cero, en cuyo caso sirve cualquier $k$.

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   Comprueba la reordenación con números de prueba. Toma $R=2$, $a=0.5$, $\alpha=30^\circ$, $m=1$, $g=9.8$. La fórmula da $k=\frac{9.8\times 0.577350269}{4\pi^{2}(2\times 0.5-0.5)}=0.286639282.$ Sustituyendo de vuelta en el miembro izquierdo original: $2\pi(2)(0.286639282)(0.5)-2\pi(0.5)(0.286639282)=0.900503863$, y el miembro derecho es $\dfrac{9.8\times 0.577350269}{2\pi}=0.900503863$. Ambos coinciden, lo que confirma el álgebra.