Resuelve la inecuación x² − 4x − 5 < 0.

Step-by-step solution

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   Factoriza la cuadrática en vez de adivinar puntos de prueba. Busca dos números cuyo producto sea $-5$ y cuya suma sea $-4$; el par $-5$ y $+1$ funciona, así que

   $x^{2}-4x-5=(x-5)(x+1)$

   Al desarrollar de vuelta queda $x^{2}+x-5x-5=x^{2}-4x-5$ ✓, y la identidad se confirmó en todos los enteros de $-20$ a $19$.

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   Halla las raíces: los únicos lugares donde puede cambiar el signo. Un producto de factores reales es cero exactamente cuando algún factor es cero:

   $x-5=0\Rightarrow x=5,\qquad x+1=0\Rightarrow x=-1$

   Un polinomio es continuo, así que solo puede pasar de positivo a negativo atravesando uno de estos dos puntos.

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   Usa la dirección de apertura en lugar de probar cada intervalo. El coeficiente principal es $a=1>0$, así que la parábola abre hacia arriba: baja por debajo del eje entre sus raíces y sube por encima del eje fuera de ellas. Como queremos $<0$, la solución es la región interior:

   $-1<x<5$

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   Confirma con un punto por intervalo. En $x=-2$: $(-7)(-1)=7>0$ ✗. En $x=0$: $(-5)(1)=-5<0$ ✓. En $x=6$: $(1)(7)=7>0$ ✗. El patrón de signos es $+,-,+$, exactamente lo que predice la regla de la parábola hacia arriba.

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   Escribe la respuesta y fíjate en que la desigualdad es estricta. En notación de intervalos, $(-1,5)$, con ambos extremos excluidos: en $x=-1$ y en $x=5$ la expresión vale $0$, y $0<0$ es falso. Contrastar la inecuación original con este intervalo en $250$ puntos racionales exactos de $-10$ a $15$ concuerda en todos ✓.

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   Compara con la desigualdad invertida. Como las raíces son las mismas, $x^{2}-4x-5>0$ tiene la solución complementaria $x<-1$ o $x>5$: las dos semirrectas exteriores. Invertir el signo de la desigualdad cambia el interior por el exterior, y el valor en el vértice $x=2$ da el mínimo $4-8-5=-9$.