Factorizar el polinomio por completo, o indicar que es primo: 5x⁴ − 80.

Step-by-step solution

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   Extraer el factor común numérico. Los dos términos comparten un factor $5$: $5x^4 - 80 = 5(x^4 - 16)$. Hacerlo primero deja al descubierto la estructura que los coeficientes escondían.

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   Detectar la diferencia de cuadrados. $x^4 = (x^2)^2$ y $16 = 4^2$, así que $x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4)$.

3. 3

   Aplicar el patrón una segunda vez. El primer paréntesis es a su vez una diferencia de cuadrados: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.

4. 4

   Decidir si x² + 4 se puede descomponer. Una suma de cuadrados no tiene raíces reales, así que sobre los números reales $x^2 + 4$ es irreducible y la factorización se detiene aquí.

5. 5

   Enunciar la factorización completa. Al reunir todo se obtiene $5(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$.

6. 6

   Verificar. $(x-2)(x+2)(x^2+4) = (x^2-4)(x^2+4) = x^4 - 16$, y $5(x^4 - 16) = 5x^4 - 80$.