Resuelve el sistema 3x + 2y = 5 y 2x − 3y = −1.

Step-by-step solution

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   Elige la reducción y decide qué variable quitar. Ninguna de las dos ecuaciones tiene un coeficiente $1$, así que la sustitución introduciría fracciones. La reducción sale más limpia. Los coeficientes de $y$ son $2$ y $-3$, con mínimo común múltiplo $6$ — y ya llevan signos opuestos, así que basta con escalar para que se cancelen al sumar.

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   Escala cada ecuación. Multiplica la primera por $3$ y la segunda por $2$:

   $3(3x+2y=5)\;\Longrightarrow\;9x+6y=15,$

   $2(2x-3y=-1)\;\Longrightarrow\;4x-6y=-2.$

   Hay que multiplicar todos los términos, los miembros derechos incluidos — el $15$ y el $-2$ son justo donde este paso suele salir mal.

3. 3

   Suma las ecuaciones para eliminar $y$. El $+6y$ y el $-6y$ se cancelan:

   $(9x+4x)+(6y-6y)=15+(-2)\;\Longrightarrow\;13x=13\;\Longrightarrow\;x=1.$

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   Sustituye hacia atrás para hallar $y$. Usando la primera ecuación original:

   $3(1)+2y=5\;\Longrightarrow\;2y=2\;\Longrightarrow\;y=1.$

   Sustituir en la ecuación original y no en una escalada impide que un error del paso 2 se propague en silencio hasta $y$.

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   Comprueba en las dos ecuaciones originales. La primera: $3(1)+2(1)=5$ ✓. La segunda: $2(1)-3(1)=-1$ ✓. Geométricamente, las dos rectas tienen pendientes $-\tfrac32$ y $\tfrac23$, que son recíprocas y opuestas, así que se cortan perpendicularmente en el único punto $(1,1)$ — solución única, tal como garantiza el determinante no nulo $3(-3)-2(2)=-13$.