Factoriza 4m²n − 8mn² − 2mn.

Step-by-step solution

1. 1

   Halla el máximo factor común coeficiente por coeficiente. Los coeficientes numéricos son $4,-8,-2$, cuyo máximo común divisor es $2$.

2. 2

   Halla las potencias comunes de las variables. Cada término contiene $m$ elevado al menos a la primera potencia y $n$ elevado al menos a la primera potencia: las potencias de $m$ son $2,1,1$ (mínimo $1$) y las de $n$ son $1,2,1$ (mínimo $1$). Así que el factor común completo es

   $\gcd=2mn$

3. 3

   Divide cada término entre 2mn, escribiendo los cocientes de forma explícita.

   $\frac{4m^2n}{2mn}=2m,\qquad \frac{-8mn^2}{2mn}=-4n,\qquad \frac{-2mn}{2mn}=-1$

   El tercer cociente es el paso que se suele fallar: cuando un término es el factor común (salvo el signo), no desaparece, sino que deja atrás un $-1$.

4. 4

   Arma la forma factorizada.

   $4m^2n-8mn^2-2mn=2mn\left(2m-4n-1\right)$

5. 5

   Comprueba si el paréntesis se factoriza más. $2m-4n-1$ es lineal en las dos variables y no tiene factor común (el $-1$ impide sacar un $2$), así que la factorización está completa.

6. 6

   Verifica desarrollando y con sustituciones aleatorias. Distribuyendo de vuelta: $2mn\cdot2m=4m^2n$, $2mn\cdot(-4n)=-8mn^2$, $2mn\cdot(-1)=-2mn$ ✓. Probar $60$ parejas aleatorias $(m,n)$ en $[-5,5]$ da coincidencia con precisión de máquina en todos los puntos ✓.